- •Контрольна робота №4 Зразок розв’язання і оформлення контрольної роботи №4
- •Завдання 4.3.31. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку
- •Завдання 4.4.31. Знайти загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку
- •Завдання 4.2. Знайти розв’язок задачі Коші диференціального рівняння першого порядку:
- •Завдання 4.3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку:
- •Завдання 4.4. Знайти загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку:
Контрольна робота №4 Зразок розв’язання і оформлення контрольної роботи №4
Варіант № 31
Завдання 4.1.31. Розв’язати диференціальні рівняння:
а) , б) .
Розв’язання. а) Рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними.
Для відокремлення змінних, поділимо обидві частини рівняння на добуток , в результаті чого отримаємо диференціальне рівняння
.
Інтегруємо останнє рівняння
, ,
- загальний інтеграл заданого рівняння.
б) Рівняння записане в загальній формі. Виразимо з нього і отримаємо рівняння в нормальній формі
.
Це рівняння є однорідним диференціальним рівнянням. Дійсно,
.
Для розв’язання однорідного рівняння введемо заміну , тоді
; ,
, , ,
,
.
Повертаючись до змінної , знаходимо загальний інтеграл заданого рівняння:
або .
Завдання 4.2.31. Знайти розв’язок задачі Коші лінійного диференціального рівняння першого порядку
.
Розв’язання. Задача Коші полягає в тому, щоб визначити частинний розв’язок диференціального рівняння, використовуючи для цього початкову умову. Для цього спочатку знаходимо загальний розв’язок диференціального рівняння.
Задане рівняння є лінійним ( і містяться в рівнянні лише в перших степенях). Розв’язуємо його методом Бернуллі. За формулою маємо
, .
, .
Складаємо систему двох рівнянь:
Розв’язуємо перше з рівнянь системи:
, .
Підставляємо отримане значення функції в друге рівняння системи і розв’язуємо його:
, .
Запишемо загальний розв’язок диференціального рівняння
.
Для розв’язання задачі Коші застосуємо початкову умову і знайдемо значення сталої , для чого підставимо в загальний розв’язок значення , :
.
Отже, частинний розв’язок диференціального рівняння має вигляд
.
Завдання 4.3.31. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку
.
Розв’язання. Рівняння другого порядку є диференціальним рівнянням , яке не містить шуканої функції .
Покладемо . Тоді і задане рівняння набуває вигляду
або .
Отримане рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними. Відокремлюючи змінні, отримаємо рівняння
,
проінтегрувавши яке маємо:
або .
Розв’язуємо останнє рівняння та отримуємо загальний розв’язок диференціального рівняння
.
Завдання 4.4.31. Знайти загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку
.
Розв’язання. Задане рівняння є лінійним неоднорідним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Згідно з формулою загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння складається із загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і деякого частинного розв’язку лінійного неоднорідного рівняння:
.
Знайдемо спочатку . Для цього складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:
, .
Загальний розв’язок однорідного рівняння знаходимо за формулою:
.
Далі визначаємо . В нашому випадку права частина диференціального рівняння має вигляд
,
де , тобто число є двократним коренем характеристичного рівняння. Отже, частинний розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді
,
де - невідомий коефіцієнт. Знайдемо
,
Підставимо знайденні похідні в рівняння :
Тотожно прирівнявши ліву і праву частини останнього рівняння, знайдемо
.
Таким чином, - частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння, а його загальний розв’язок має вигляд
.
Завдання 4.5.31. Дослідити на збіжність числові ряди
а)
Розв’язання. Запишемо -ий і -ий члени заданого ряду: . Тепер застосуємо ознаку Даламбера:. , отже досліджуваний ряд збігається.
б) .
Розв’язання. За радикальною ознакою Коші
, , тому цей ряд збіжний.
в)
Розв’язання. Порівняємо цей ряд зі збіжною геометричною прогресією: , знаменник якої . Оскільки при всіх маємо: , то за ознакою порівняння досліджуваний ряд - збіжний.
г) , де - деяка стала.
Розв’язання. Використаємо інтегральну ознаку збіжності, беручи в якості : . Якщо , то , тобто інтеграл, а разом з ним і ряд – розбіжні. Якщо , то
Отже, узагальнений гармонічний ряд збігається, коли , і розбігається, коли .
Завдання 4.6.31. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність знакозмінний числовий ряд:
а)
Розв’язання. Обидві умови ознаки Лейбніца виконані, тому ряд - збіжний. Запишемо ряд з абсолютних величин членів заданого ряду:
Застосуємо для цього ряду інтегральну ознаку Коші, взявши .
Маємо:
За інтегральною ознакою Коші останній ряд збіжний, отже заданий ряд - абсолютно збіжний.
б) де - деяка стала.
Розв’язання. Маємо знакозмінний ряд. Розглянемо збіжність ряду, складеного з абсолютних величин членів заданого ряду:
.
Порівняємо ий член цього ряду з м членом узагальненого гармонічного ряду :
.
Вище було доведено, що узагальнений гармонічний ряд збігається, якщо В нашому випадку отже за ознакою порівняння збігається ряд з абсолютних величин, а заданий ряд - абсолютно збіжний.
Завдання 4.7.31. Розкласти в ряд Маклорена функції:
а) .
Розв’язання. Користуючись формулою зниження степеня, маємо: . Степеневий ряд для можна отримати з ряду , якщо брати в цьому ряді замість :
.
Отже,
б) .
Розв’язання. Скористаємося біноміальним рядом:
Ряд функції отримуємо з цього ряду заміною на :
Тоді :
. Оскільки цей ряд отриманий з біноміальною заміною на , то він буде збіжним при або .
ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ № 4
Завдання 4.1. Розв’язати диференціальні рівняння:
4.1.1.a); |
б). |
4.1.2.a) |
б) |
4.1.3. a) |
б) |
4.1.4. a) |
б) |
4.1.5. a) |
б) |
4.1.6. a) |
б) |
4.1.7.a) |
б) |
4.1.8.a) |
б) |
4.1.9. a) |
б) |
4.1.10. a) |
б) |
4.1.11.a) |
б) |
4.1.12. a) |
б) |
4.1.13. a) |
б) |
4.1.14. a); |
б) |
4.1.15. a) |
б) |
4.1.16. a) |
б) |
4.1.17. a) |
б) |
4.1.18. a) |
б) |
4.1.19.a) |
б) |
4.1.20. a) |
б) |
4.1.21.a) |
б) |
4.1.22.a) |
б) |
4.1.23. a) |
б) |
4.1.24. a) |
б) |
4.1.25. a) |
б) |
4.1.26. a) |
б) |
4.1.27.a) |
б) |
4.1.28.a) |
б) |
4.1.29. a) |
б) |
4.1.30. a) |
б) |