9 Вероятность суммы событий и произведения событий.

Суммой двух событий и называется событие , состоящее в выполнении события или события , или обоих вместе.

Например, если событие – попадание в цель при первом выстреле, событие – попадание в цель при втором выстреле, то событие есть попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле – при первом, при втором или при обоих вместе.

Если события и несовместимы, то естественно, что появление этих событий вместе отпадает, и сумма событий и сводится к появлению или события , или события . Например, если событие – появление карты червонной масти при вынимании карты из колоды, событие – появление карты бубновой масти, то есть появление карты красной масти, безразлично – червонной или бубновой.

Короче, суммой двух событий и называется событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий и .

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Например, если опыт состоит в пяти выстрелах по мишени и даны события:

– ни одного попадания,

– ровно одно попадание,

– ровно два попадания,

- ровно три попадания,

– ровно четыре попадания,

– ровно пять попаданий,

То есть событие «не более двух попаданий», а

есть событие «не менее трех попаданий».

Произведением двух событий и называется событие , состоящее в совместном выполнении события и события .

Например, если событие – появление туза при вынимании карты из колоды, событие – появление карты бубновой масти, то событие есть появление бубнового туза. Если производится два выстрела по мишени и событие – попадание при первом выстреле, событие – попадание при втором выстреле, то есть попадание при обоих выстрелах.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Например, если по мишени производится три выстрела, и рассматриваются события

– промах при первом выстреле,

– промах при втором выстреле,

- промах при третьем выстреле,

то событие

состоит в том, что в мишень не будет ни одного попадания.

При определении вероятностей часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций более простых событий, применяя и операцию сложения, и операцию умножения событий.

Например, пусть по мишени производится три выстрела, и рассматриваются следующие элементарные события:

- попадание при первом выстреле,

- промах при первом выстреле,

- попадание при втором выстреле,

- промах при втором выстреле,

- попадание при третьем выстреле,

- промах при третьем выстреле.

10 Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Теорема Байеса, Формула Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточны. Названа в честь ее автора, преп. Томаса Байеса (посвященная ей работа «An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances» впервые опубликована в 1763 году,[1] через 2 года после смерти автора). Полученную по формуле вероятность можно далее уточнять, принимая во внимание данные новых наблюдений.

Психологические эксперименты[2] показали, что люди при оценках вероятности игнорируют различие априорных вероятностей (ошибка базовой оценки), и потому правильные результаты, получаемые по теореме Байеса, могут очень отличаться от ожидаемых.

Формула Байеса:

,

где

P(A) — априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

P(A | B) — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

P(B | A) — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

P(B) — вероятность наступления события B.