- •1. Предмет теории вероятности. Вероятность и статистика.
- •2.Понятие события. Классификация событий.
- •3.Операции над событиями.
- •4.Статистический подход к определению вероятности.
- •6.Геометрический подход к определению вероятностей.
- •5.Классический подход к определению вероятности. Свойства вероятности.
- •7.Элементы комбинаторики.
- •8. Условная вероятность. Независимые события.
- •9 Вероятность суммы событий и произведения событий.
- •10 Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •11 Понятие случайной величины. Типы случайны величин. Закон распределения.
- •12 Дискретные случайные величины.
- •13 Непрерывные случайные величины.
- •15. Равномерное распределение,
- •17. Пуассона распределение,
- •14 Параметры распределения случайных величин.
- •16. Биномальное распределение
- •Моменты
- •18. Нормальное распределение,
- •Цели регрессионного анализа
- •21. Зако́н больши́х чи́сел
- •Слабый закон больших чисел
- •Усиленный закон больших чисел
- •25. Точечные оценки параметров распределения.
- •22.Понятие статистического исследования. Генеральная совокупность и выборка. Выборочный метод.
- •26. Интервальные оценки параметров распределения.
- •27. Оценки вероятности события.
- •23, 24.
- •1.1 Мода
- •1.2 Медиана
- •1.3 Выборочное среднее
- •1.4 Разброс выборки
- •1.5 Дисперсия
11 Понятие случайной величины. Типы случайны величин. Закон распределения.
Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.
В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: дискретные и абсолютно непрерывные, хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов.
Дискретные случайные величины
Дискретная случайная величина - это величина, принимающая конечное или счетное число значений. Такая величина задается набором этих значений и их вероятностей , , которые должны быть неотрицательными и удовлетворять условию нормировки: .
При этом вероятностная мера на любом (борелевском) множестве прямой задается по формуле:
, где .
Абсолютно непрерывные случайные величины
Если функция распределения случайной величины имеет вид:
, где - интегрируемая неотрицательная функция,
тогда эта случайная величина называется абсолютно непрерывной. Функция при этом называется плотностью распределения. Плотность распределения удовлетворяет свойствам:
и .
И наоборот, любая интегрируемая функция , удовлетворяющая этим свойствам, может быть взята в качестве плотности распределения некоторой случайной величины.
Поскольку функция распределения является функцией верхнего предела от плотности, то последняя восстанавливается по ней дифференцированием:
. Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности
Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.
Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.
Можно легко показать, что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.
Найдем функцию распределения F(x).
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.
Нормальная кривая обладает следующими свойствами:
1) Функция определена на всей числовой оси.
2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.
3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.
4) Найдем экстремум функции.
Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный .
5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность
(х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.
6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.
При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.
В этих точках значение функции равно .
Построим график функции плотности распределения.
Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается..
Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.
При а = 0 и s = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой.