Экзаменационные вопросы

1.Погрешности вычислений. Устойчивость алгоритмов.

2.Оценка погрешности приближенного корня уравнения.

3.Метод половинного деления. Сходимость метода. Достоинства и недостатки метода.

4.Решение нелинейных уравнений методом итерации: геометрическая интерпретация метода.

5.Решение нелинейных уравнений методом итерации: условия сходимости.

6.Решение нелинейных уравнений методом итерации: оценка приближения.

7.Решение нелинейных уравнений методом Ньютона: геометрическая интерпретация метода.

8.Решение нелинейных уравнений методом Ньютона: сходимость итерационного процесса.

9.Решение нелинейных уравнений методом Ньютона: оценка приближения.

10.Решение систем нелинейных уравнений: метод Ньютона.

11.Абсолютная величина и норма матрицы.

12.Решение систем линейных уравнений: метод Гаусса.

13.Обращение матриц методом Гаусса.

14.Решение систем линейных уравнений: метод Якоби.

15.Решение систем линейных уравнений методом Якоби: условие сходимости итерационного процесса.

16.Решение систем линейных уравнений: метод Зейделя.

17.Собственные значения и собственные векторы матриц. Полная и частичная проблема собственных значений.

18.Метод Данилевского: приведение исходной матрицы к матрице Фробениуса.

19.Исключительные случаи метода Данилевского.

20.Вычисление собственных векторов по методу Данилевского.

21.Трехдиагональные матрицы. Ортогональные матрицы.

22.Преобразование симметричной матрице к трехдиагональной посредством вращений.

23.Метод вращений: вычисление собственных векторов трехдиагональной матрицы и исходной симметричной матрицы.

24.Определение наибольшего по модулю собственного значения матрицы: наибольшее по модулю собственное значение единственное.

25.Определение наибольшего по модулю собственного значения матрицы: наибольшие по модулю собственные значения образуют комплексную пару.

26.Постановка задачи интерполирования.

27.Понятие конечной разности. Ее свойства.

28.Выражение значений ф-и через конечные разности. Выражение конечной разности через значения ф-и.

29.Конечные разности ф-и, заданной таблично.

30.Обобщенная степень. Конечные разности для обобщенной степени.

31.Первая интерполяционная формула Ньютона.

1

32.Вторая интерполяционная формула Ньютона.

33.Интерполяционная формула Лагранжа.

34.Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа.

35.Оценка погрешности интерполяционных формул Ньютона.

36.Приближенное интегрирование функций: формула прямоугольников.

37.Погрешность формулы прямоугольников.

38.Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

39.Приближенной интегрирование функций: формула трапеций. Погрешность формулы трапеций.

40.Общая формула трапеций. Погрешность общей формулы трапеций.

41.Формула Симпсона. Погрешность формулы Симпсона.

42.Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона.

43.Задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения n-ого порядка. Условие Липшица для дифференциального уравнения первого порядка.

44.Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

45.Приближенное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений: метод Эйлера.

46.Метод Рунге-Кутта.

47.Преобразование Фурье. Вывод коэффициентов Фурье.

2

Под вычислительной математикой понимают теорию численных методов и алгоритмов решения типовых математических задач. В данный курс входят следующие типовые численные задачи:

1.решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений;

2.решение систем линейных алгебраических уравнений;

3.определение собственных чисел и собственных векторов матриц;

4.интерполяция и апроксимация функций;

5.численное интегрирование и дифференцирование;

6.численное решение обыкновенные дифференциальных уравнений;

7.решение дифференциальных уравнений в частных производных.

Структура погрешности вычислений

4 источника погрешности результата:

1.Погрешность математической модели. Связана с физическими допущениями.

2.Погрешность исходных данных. Обусловленна неточностью измерения данных. Не зависит от математика и приводит к неустранимой погрешности результата.

3.Погрешность метода. Связана с тем, что точные операторы заменяют приближенными. Интеграл суммой, производную разностью, функцию полиномом. Поддается оценке. Целесообразно выбирать так, чтобы она была в 2 5 раз меньше неустранимой погрешности.

4.Погрешность округления. Ограниченная разрядность компьютера. Вычислительная погрешность накапливается в ходе вычислений.

Устойчивость вычислительных алгоритмов

Алгоритм называется устойчивым, если в процессе его работы вычислительная погрешность возрастает незначительно, иначе неустойчивый.

Корректные задачи

Задача

y = A(x)

называется корректно-поставленной, если для любых входных данных x из некоторого множества решение y существует и устойчиво к входным данным.

3