- •« Пособие по математическому анализу для студентов лечебного и педиатрического факультетов медицинской академии » Ярославль
- •Содержание.
- •Введение.
- •1. Множество и функция.
- •2. Производная функции.
- •2.1 Определение производной функции одной переменной.
- •Таким образом:
- •Геометрический смысл производной.
- •Физический смысл производной.
- •Производная сложной функции.
- •Элементарных функций.
- •Примеры дифференцирования простых и сложных функций.
- •Приближенное значение функции при малых значениях аргумента.
- •2.7. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Найдем явное выражение для второго дифференциала. По определению дифференциала имеем:
- •Неопределенный интеграл.
- •Определение неопределенного интеграла.
- •Свойства неопределенного интеграла.
- •Основные методы интегрирования.
- •Метод интегрирования по формулам.
- •Метод замены переменных.
- •3.4.3. Примеры нахождения неопределенного интеграла.
- •1 Способ.
- •2 Способ.
- •Определенный интеграл.
- •Определение определенного интеграла.
- •Свойства определенного интеграла.
- •4.3. Формула Ньютона-Лейбница.
- •4.4. Замена переменной в определенном интеграле.
- •Алгоритм нахождения определенного интеграла методом замены переменной.
- •4.5. Примеры нахождения определенного интеграла.
- •Дифференциальные уравнения.
- •Основные понятия о дифференциальных уравнениях.
- •5.2. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •5.3. Примеры составления и решения дифференциальных уравнений.
- •5.3.1. Закон радиоактивного распада в дифференциальной и интегралной формах.
- •Примеры решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных.
- •6. Литература.
ГОУ ВПО «Ярославская медицинская академия»
« Пособие по математическому анализу для студентов лечебного и педиатрического факультетов медицинской академии » Ярославль
2009
Содержание.
Введение.
Множество и функция.
Производная функции.
Неопределенный интеграл.
Определенный интеграл.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
6 Литература.
7. Приложение. Сборник задач по производным, интегралам, дифференциальным уравнениям.
Введение.
Данное пособие написано на основании многолетнего опыта преподавания основ математического анализа студентам лечебного и педиатрического факультетов медицинской академии. В процессе обучения студенты, получив необходимые теоретические знания о дифференциальном и интегральном исчислении, учатся дифференцировать простые и сложные функции, находить определенные и неопределенные интегралы, решать простые дифференциальные уравнения.
Пособие соответствует учебному плану проведения занятий по математическому анализу для студентов первого курса лечебного и педиатрического факультетов и состоит из двух частей. Теоретическая часть содержит минимальный объем сведений для понимания основных понятий математического анализа. Практическая часть представляет собой сборник задач в который вошло около двухсот примеров.
Студентам данная работа поможет глубже понять вопросы, которые изучались на семинарах. Для развития умения решать практические задачи в пособии приведено и разобрано много примеров. Преподавателям в данном пособии предлагается большое количество задач для семинаров и домашних заданий.
При написании данной работы были учтены замечания и пожелания как коллег-преподавателей так и студентов. Данное пособие имеет электронную версию, поэтому необходимые исправления в него вносятся в минимальные сроки. Все замечания по данной работе направлять автору на электронный ящик
bobiskola@mail.ru.
1. Множество и функция.
Понятия множества и функции относятся к первичным понятиям математики как понятия точки или линии.
Множество — это совокупность конечного или бесконечного числа элементов, объединенных по какому-либо признаку. Множество называется числовым, если элементами множества являются числа. Некоторые числовые множества и их обозначения:
N - множество всех натуральных чисел;
Z - множество всех целых чисел;
R - множество всех действительных чисел.
Отношение между двумя множествами называется отображением, если каждому элементу одного множества соответствует только один элемент другого.
Числовой функцией называется отображение f числового множества X на множество R действительных чисел. Множество f называется областью определения функции f, а множество значений X — область допустимых значений функции f.
D(f) - область определения функции ( множество Х )
E(f) - множество значений функции ( множество f )
2. Производная функции.
2.1 Определение производной функции одной переменной.
Пусть на некотором отрезке X=[a;b] определена функция f(x). Возьмем любую точку х Х и зададим аргументу х в данной точке произвольное приращение ∆х такое, что точка х +∆х так же принадлежит Х. Этим значениям аргумента х и х+∆х соответствуют следующие значения функции:
y(х) = f(х)
у(х+∆х) = f(х+∆х).
Приращение аргумента равно ∆х.
Приращение функции ∆y = f(х+∆х)-f(х).
Производной функции f(х) в точке х называется предел отношения приращения ∆y функции к приращению аргумента ∆х, когда приращение аргумента стремится к нулю:
=
Для обозначения производной функции используют символ
y '(х) или f ′(х).
Читается: y'(х) - « игрек штрих по х »,
f '(х) - « эф штрих по х ».
Таким образом, по определению:
f ′(х) = =
Замечание 1: Предел должен существовать ( т.е. быть конечным ), только тогда можно говорить, что функция имеет производную в данной точке.
Случай, когда = ∞ вданной работе не рассматривается.
Замечание 2: ∆y и ∆х — это единые символы, поэтому в выражении на ∆ сократить нельзя.
Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение можно представить в виде:
∆y=y'∆х + αΔх,
где y' – производная функции f(х) в точке х,
α = α(х) —бесконечно малая при Δх→0, т.е.
lim α = 0
x0
Дифференциалом функции y = f(х) в точке х называется главная часть приращения функции в этой точке
dy = f'΄(х)Δх.
Дифференциалом независимой переменной х по определению считается величина: dх=Δх. Тогда дифференцил функции равен
dy = f΄(х)dх.