2.7ИДЗ матан
.pdf
|
|
|
|
|
1 |
ln |
|
y2 1 |
|
x C2. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем теперь C2 , учитывая из |
|
|
начальных условий, что x 0 и |
|||||||||||||
y 2 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
ln7 0 C |
2 |
|
C |
2 |
|
ln7 |
. |
|||||
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
В итоге частный интеграл уравнения будет иметь вид:
1ln y2 1 x ln7.
22
Ответ: 1ln y2 1 x ln7.
22
4.Решите системы дифференциальных уравнений:
4.1.y1 2y1 y2,y2 3y1 2y2.
Выпишем первое уравнение системы y1 2y1 y2 и продифференцируем обе части уравнения по x:
y1 2y1 y2 .
Из второго уравнения системы y2 подставим в полученное равенство y1 2y1 3y1 2y2 .
Из первого уравнения системы выражаем y2 y1 2y1 и подставляем в последнее равенство. Тогда уравнение принимает вид
y1 2y1 3y1 2y1 4y1.
Перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую и приведем подобные:
y1 y1 0.
Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид
k2 1 0.
Корни этого уравнения действительные и различные: k1 1, k2 1. Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:
y1 C1ex C2e x.
Наконец найдём y2 :
61
y |
2 |
2y y |
|
y |
2 |
|
2(C ex |
C |
e x ) C ex C |
e x 3C ex C |
e x. |
||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(x) C1e C2e , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: |
|
(x) 3C ex C |
|
e x. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4.2. |
|
y |
y |
|
5cosx |
|
y (0) 0, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
y2 |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y2 |
2y1 |
|
|
y2(0) 3 |
|
|
Выпишем первое уравнение системы y1 y2 5cosx и продифференцируем обе части уравнения по x:
y1 y2 5sinx.
Из второго уравнения системы y2 подставим в полученное равенство y1 2y1 y2 5sinx.
Из первого уравнения системы выражаем y2 y1 5cosx и подставляем в последнее равенство. Тогда уравнение принимает вид
y |
2y |
y 5cosx 5sinx |
|
1 |
1 |
1 |
|
y y 2y |
5cosx 5sinx. |
||
1 |
1 |
1 |
|
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение
y1 y1 2y1 0.
Его характеристическое уравнение имеет вид k2 k 2 0.
Корни этого уравнения действительные и различные: k1 1, k2 2. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:
y10 C1e2x C2e x.
Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения
y1 y1 2y1 5cosx 5sinx.
Правая часть уравнения имеет вид
f(x) e x Pn1 (x)cos x Qn2 (x)sin x .
Внашем случае n1 n2 0, 0, 1. Так как значение i не сов-
падает с корнями характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
y1 Acosx Bsinx.
62
Найдем y1 Asinx Bcosx и y1 Acosx Bsinx. Подставим выражения для y1, y1 и y1 в исходное уравнение. В результате получаем:
Acosx Bsinx Asinx Bcosx 2Acosx 2Bsinx 5cosx 5sinx.
Приравнивая коэффициенты при sinx и cosx в левой и правой частях уравнения, получаем систему уравнений:
3B A 5,
3A B 5.
Из первого уравнения системы выразим неизвестное A 5 3B и подставим во второе уравнение системы. Получаем
15 9B B 5.
Откуда B 2. Тогда A 1.
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид y1 cosx 2sinx
Общее решение неоднородного уравнения определяется формулой y(x) y0(x) y(x),
где y0(x) общее решение соответствующего однородного уравнения, y(x) частное решение неоднородного уравнения.
Следовательно,
y1 C1e2x C2e x cosx 2sinx.
Для того чтобы найти неизвестную функцию y2 , найдем y1 и подста-
вим в равенство y2 y1 5cosx. Получим
y1 2C1e2x C2e x sinx 2cosx,
y2 2Ce1 2x C2e x sinx 2cosx 5cosx, y2 2Ce1 2x C2e x sinx 3cosx.
Запишем общее решение системы дифференциальных уравнений
|
|
C1e |
2x |
C2e |
x |
cosx 2sinx, |
|
y1 |
|
|
|
||||
|
|
2C e2x C |
|
e x sinx 3cosx. |
|||
y |
2 |
|
|||||
|
1 |
2 |
|
|
Используя начальные условия y1(0) 0,y2(0) 3, найдем значения констант C1 и C2 :
|
|
|
C |
1 |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|||||
0 C1 C2 1, |
|
1 |
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 2C1 |
C2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
C2 |
|
3 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Теперь частное решение системы имеет вид
63
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
1 |
e2x |
|
2 |
e x |
cosx 2sin x, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
e |
|
|
|
e |
|
sinx 3cosx. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
y |
|
1 |
e2x |
|
2 |
e x cosx 2sin x, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y2 |
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
sinx 3cosx. |
|||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 5
Вариант №0
1. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для общего члена ряда
un tg 4n
и проверьте, выполняется ли необходимый признак сходимости.
2. |
Найдите сумму ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n2 5n 4 |
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Исследуйте ряды на сходимость, используя признаки сравнения |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
||
3.1. |
|
|
|
|
; |
|
3.2. |
|
. |
|
|
||||||||
|
|
3 |
2 |
|
|
|
4 |
n |
|
|
|||||||||
|
n 1 n |
|
|
2n |
3 |
|
|
n 1 |
|
1 |
|
|
|||||||
4. |
Исследуйте ряды на сходимость, используя признак Даламбера |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
4.1. |
|
|
|
|
; |
|
|
4.2. |
|
|
3 |
|
|
. |
|||||
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||
|
n 1 2 |
|
|
(n 3) |
|
|
n 1 |
(3n 2) 5 |
5. Исследуйте ряды на сходимость, используя признак Коши
64
|
3n 2 |
n 1 |
|
4n 3 |
|
|
|||
3 |
|
|
|
||||||
5.1. |
|
|
; |
5.2. |
|
|
. |
||
4n 3 |
(n 3) |
n |
|||||||
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
6. Исследуйте ряды на сходимость, используя интегральный признак
|
10 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
6.1. |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
6.2. |
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
(n 5)ln |
(n 5) |
|||||||
7. Исследуйте ряды на абсолютную и условную сходимость |
||||||||||||||||||||
|
1 |
n 1 |
n ; |
|
( 1) |
n |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7.1. |
|
|
|
7.2. |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n 1 |
6n 5 |
|
|
|
|
n 1 |
|
n 4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7.3. ( 1)n |
|
|
|
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Исследуйте ряды на сходимость, используя различные признаки сходимости
|
( 1) |
n 1 |
n |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8.1. |
|
|
|
|
|
; |
8.2. ( 2n2 |
3 |
|
|
2n2 1); |
||||||||||||
(n 3)! |
|
|
|||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
1 |
|
|
n |
|||||||||
8.3. tg |
|
|
|
|
|
8.4. ( 1) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(n |
1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8.5. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n 1 |
2 n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
1. Напишите пять первых членов ряда по известной формуле для обще-
го члена ряда un tg и проверьте, выполняется ли необходимый при- 4n
знак сходимости.
Найдем сначала пять первых членов
n 1: u1 tg ; 4
n 2: u2 tg ; 8
n 3: u3 tg ; 12
65
n 4: u4 tg ; 16
n 5: u5 tg . 20
Проверим теперь выполнение необходимого признака, для этого
найдем предел общего члена ряда limun :
n
limtg tg0 0.
n 4n
Следовательно, необходимый признак выполняется.
2. Найдите сумму ряда
|
54 |
|
|
|
. |
||
n 1 n2 5n 4 |
|||
|
54
Представим общий член ряда un n2 5n 4 в виде суммы двух дробей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n 4 |
|
|
|
|
|
|
n 4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5n 4 |
|
|
(n 1)(n 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдем теперь n-частичную сумму ряда Sn : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sn u1 u2 u3 un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
6 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 2 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
2 |
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 1 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3 |
|
n 4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 3 |
|
|
|
4 n 2 |
|
|
|
|
|
|
n 3 n |
4 |
|
|
|
|
12 n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По определению сумма ряда S |
|
равна S limSn. Подставим в эту фор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
мулу полученное выражение для Sn , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
18 |
13 |
|
|
39 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
S lim 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
n 3 n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: S 39. 2
3.3. Исследуйте ряды на сходимость, используя признаки сравнения
66
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Для исследования ряда на сходимость используем предельный при- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знак сравнения. Общий член исследуемого ряда u |
|
|
|
n2 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
эквива- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 n 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
лентен |
|
эталонному ряду |
n 1 |
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
общим |
членом |
|
vn |
|
, так как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ns |
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
2 |
1 |
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Ряд |
|
расходится. |
Вычислим предел отно- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
n |
n 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
шения |
un |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
vn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 1 |
|
|
|
|
(n2 |
|
1)n |
|
|
|
|
|
n3 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
n3 n 1 |
|
lim |
|
lim |
|
|
1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
n n3 n 1 |
n n3 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Так как предел равен конечному числу, отличному от нуля, то ис- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следуемый ряд |
|
|
|
|
n2 1 |
|
ведет себя так же как ряд, с которым срав- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 n3 n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нивали |
, т.е. расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ: ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Для исследования ряда на сходимость используем предельный при- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знак сравнения. Общий член исследуемого ряда u |
n |
|
|
3n |
|
эквивален- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n |
|||||||||
тен |
эталонному |
|
|
|
|
ряду q |
|
|
|
с |
общим |
членом |
|
vn |
|
|
|
, так как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
67
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
3 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
Ряд |
|
|
|
|
|
расходится |
|
(q |
|
|
1). |
Вычислим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
n |
1 |
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
предел отношения |
|
un |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n 2n |
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n ln2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
1 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n (2n 1) 3n |
|
n 2n 1 |
|
|
|
n 2n ln2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как предел равен конечному числу, отличному от нуля, то ис- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следуемый ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
ведет себя так же как ряд, с которым сравнива- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, т.е. расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: ряд |
|
|
|
|
|
|
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. Исследуйте ряды на сходимость, используя признак Даламбера |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
(n |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
нашем |
|
|
|
случае общий |
|
член |
|
|
ряда |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
. |
Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2n(n2 3) |
|
|
|
||||||
u |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Найдем предел отношения |
un 1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n 1((n 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! 2n |
(n2 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
n!(n 1) 2n (n2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
((n 1)2 |
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n! 2n 1 ((n 1)2 3) |
|
|
n n! 2n 2 (n2 2n 4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n(n2 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1) (n2 |
3) |
1 |
|
n3 n2 |
|
3n 3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3n2 2n 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2n (n2 2n 4) |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
n2 2n 4 |
|
|
|
|
|
|
|
2n |
2n 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
1 |
|
lim |
6n 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Так как значение предела больше единицы, то ряд расходится. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
2 |
|
|
(n |
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2. |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 (3n 2) 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
В |
нашем |
|
|
случае |
общий |
член |
|
ряда |
u |
n |
|
|
|
3n |
|
. |
Тогда |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n(3n 2) |
|
|
|||||
u |
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
. Найдем предел отношения |
|
u |
|
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5n 1(3(n 1) 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n 1 5n (3n 2) |
|
|
|
|
|
|
3n 3 5n (3n 2) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
5n 1(3(n 1) 2) |
|
|
lim |
|
lim |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3n 5n 1 (3n 1) |
|
n 3n 5n 5 (3n 1) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5n(3n 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3(3n 2) |
3 |
|
|
|
|
3n 2 |
|
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
=lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n 5(3n 1) |
5n 3n 1 |
|
|
5n 3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
|
|
||
Так как значение предела меньше единицы, то ряд |
|
|
|
|
схо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
(3n 2) 5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: ряд |
|
|
|
|
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 (3n 2) 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Исследуйте ряды на сходимость, используя признак Коши
n 1
3n 2 3
5.1. n 1 4n 3
n 1
В нашем случае общий член ряда
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 1 |
||||
|
3n 2 |
|
|
3n 2 |
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
||||||||||||
limn |
|
3 |
n |
|||||||||||
|
|
|
|
=lim |
|
|
|
|
|
|
=lim |
|||
|
|
4n 3 |
|
|||||||||||
n |
4n 3 |
|
n |
|
|
|
|
n |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
un |
.Найдем limn un : |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
4n 3 |
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|||||
3n 2 |
|
|
|
|
|
3n 2 |
|
|
|
|
|||||||||
3n |
|
|
|
3 |
3n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
=lim |
|
|
= |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4n 3 |
|
n |
4n 3 |
|
|
|
|
|
3 3 = 3 0,75.
4
69
Так |
|
|
как |
|
значение |
|
предела limn un |
|
|
|
|
|
|
меньше |
единицы, |
то |
|
ряд |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3n 2 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3n 2 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: ряд |
|
|
|
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
4n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 (n 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
В нашем случае общий член ряда u |
|
|
|
4n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
.Найдем limn u |
|
|
: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(n 3)n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
limn |
4n 3 |
|
|
|
|
|
|
4n 3 |
|
n |
|
(4n 3)n |
|
|
|
|
4 n |
|
|
4 4 n |
|
4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
=lim |
|
|
|
|
|
|
=lim |
|
|
|
|
|
|
=lim |
|
|
|
|
=lim |
|
|
|
|
|
|
|
=0. |
|||||||||||||||
(n 3) |
n |
|
(n 3) |
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
3) |
|
|
|
|
|
n n 3 |
n n 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Так |
как |
значение |
предела limn |
|
|
|
меньше единицы, то |
ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
un |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3n 2 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3n 2 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: ряд |
|
|
|
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
4n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Исследуйте ряды на сходимость, используя интегральный признак
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
||
|
|
Общий член ряда u |
|
|
|
|
. |
Составим функцию |
|
x |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
(n 3)n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
найдем несобственный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10 |
x |
10 x |
|
|
d( |
|
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
2 10 |
x |
d( |
x |
) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
x |
1 |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln10 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 10 1 0,2 . ln10 ln10
70