Pyrkova_--_Metody_reshenia_differentsialnykh_urav
.pdf§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1.1. Основные понятия
Неоднородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется дифференциальное уравнение вида
a0 y (n) + a1 y (n−1) +...+ an−1 y′+ an y = f (x), |
(1.1) |
|
где |
x R - независимая переменная; y(x) - |
искомая функ- |
ция; |
a0 , a1 ,K, an - заданные числа, причем |
a0 ≠ 0 ; f (x) - |
известная функция, не равная тождественно нулю. Уравнение
a0 y(n) + a1 y(n−1) +...+ an−1 y′+ an y = 0 |
(1.2) |
называется однородным.
Общее решение линейного неоднородного уравнения (1.1) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения (1.2) и любого частного решения неоднородного уравнения (1.1):
y(x)= yo (x)+ yч (x). |
(1.3) |
1.2. Общее решение однородного уравнения
Фундаментальной системой решений однородного уравнения (1.2) называется совокупность n линейно независимых решений y1 (x), y2 (x),K, yn (x) этого уравнения.
Общее решение однородного уравнения (1.2) представляет собой произвольную линейную комбинацию частных решений, входящих в фундаментальную систему решений,
yo = C1 y1 (x)+C2 y2 (x)+K+Cn yn (x). |
(1.4) |
Далее мы будем рассматривать уравнения с действительными коэффициентами, их решения будем искать в действительной форме.
4
Характеристическим уравнением, соответствующим однородному уравнению (1.2), называется алгебраическое уравнение
a |
λn + a λn−1 |
+...+ a |
n−1 |
λ + a |
n |
= 0 . |
(1.5) |
0 |
1 |
|
|
|
|
Обозначим через λ1 ,λ2 ,...,λn корни характеристического
уравнения (1.5), вообще говоря, комплексные.
1.1) Каждому действительному простому корню λ характеристического уравнения (1.5) соответствует частное реше-
ние однородного уравнения (1.2), имеющее вид y = eλx .
1.2) |
Каждому действительному |
корню λ |
кратности k |
(k ≥ 2) |
соответствует k линейно независимых частных ре- |
||
шений однородного уравнения eλx , |
xeλx , ... , |
x k −1eλx . Соот- |
ветствующая компонента общего решения однородного уравнения (1.2) имеет вид
y(x)= (C1 +C2 x +K+Ck xk −1 )eλx , |
(1.6) |
||||
где C1 ,C2 ,K,Ck - произвольные постоянные. |
|
||||
1.3) Если λ =α +iβ , где α и β - действительные, |
β ≠ 0 , |
||||
а i 2 |
= −1 |
, является корнем характеристического уравнения |
|||
(1.5), |
то |
комплексно сопряженное число |
|
=α −iβ |
также |
λ |
корень этого уравнения (по свойству алгебраических уравнений с действительными коэффициентами).
Напомним, что для комплексного числа z = x +iy , где x, y R , его действительной и мнимой частью называются соответственно Re z = x , Im z = y . Кроме того, имеет место формула Эйлера e(α+iβ )t = eαt (cos βt +i sin βt).
Паре невещественных корней α ±iβ соответствуют два линейно независимых действительных частных решения однородного уравнения (1.2) Re e(α+iβ )x = eαx cos βx и Im e(α+iβ )x = eαx sin βx , которые включают в фундаментальную систему решений, вместо функций e(α+iβ )x , e(α−iβ )x . Со-
5
ответствующая компонента общего решения однородного уравнения (1.2) представляется в виде
y(x)= (C cos βx +C |
2 |
sin βx)eαx , |
(1.7) |
1 |
|
|
где C1 ,C2 - произвольные постоянные.
1.4) Если среди корней характеристического уравнения (1.5) есть корень λ =α +iβ кратности k (k ≥ 2), то и ком-
плексно сопряженный ему корень λ =α −iβ имеет ту же
кратность k . Этим 2k невещественным корням соответствуют 2k линейно независимых частных действительных решений однородного уравнения (1.2)
eαx cos βx , xeαx cos βx , ... , xk −1eαx cos βx , eαx sin βx , xeαx sin βx , ... , xk −1eαx sin βx .
Соответствующая компонента общего решения однородного уравнения (1.2) имеет в этом случае вид
y(x)= (C1 +C2 x +K+Ck xk −1 )eαx cos βx + |
, |
(1.8) |
+ (D1 + D2 x +K+ Dk xk −1 )eαx sin βx |
где C1 ,C2 ,K,Ck , D1 , D2 ,K, Dk - произвольные постоянные.
Так можно построить совокупность решения, являющуюся общим решением уравнения (1.2).
1.3. Частное решение неоднородного уравнения с правой частью специального вида
Пусть правая часть f (x) неоднородного линейного диф-
ференциального уравнения с постоянными коэффициентами является квазимногочленом, т.е. является суммой функций вида
g(x)= eγx (Pm (x)cosϕx +Qn (x)sinϕx),
здесь Pm (x) и Qn (x) - многочлены степени m и n соответственно.
6
В этом случае для поиска частного решения неоднородного дифференциального уравнения можно использовать ме-
тод неопределенных коэффициентов.
1.5) Пусть правая часть уравнения (1.1) имеет вид
f (x)= P (x)eγx , где |
P |
(x)= b |
+b x +K+b |
m |
xm |
- многочлен |
m |
m |
0 |
1 |
|
|
|
степени m. |
|
|
|
|
|
|
Если γ не является корнем характеристического уравне-
ния (1.5), то говорят, что имеет место нерезонансный случай; частное решение неоднородного уравнения (1.1) ищется в виде
yч = Qm (x)eγx , |
(1.9) |
где Qm (x) - многочлен той же степени m.
Если γ является корнем (1.5) кратности s , то говорят, что
имеет место резонанс кратности s ; частное решение (1.1) ищется в виде
yч = xs Qm (x)eγx . |
(1.10) |
Для определения коэффициентов многочлена Qm (x) сле-
дует (1.9) или (1.10) подставить в (1.1), сократить на eγx и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях уравнения. Из получившейся системы алгебраических уравнений найдем эти коэффициенты.
1.6) Пусть коэффициенты левой части уравнения (1.1)
действительны, |
а |
его правая |
часть имеет вид |
||
f (x)= eγx (P (x)cosϕx +Q |
n |
(x)sin ϕx). |
|
||
m |
|
|
|
|
|
Если γ +iϕ |
не |
является корнем |
характеристического |
уравнения (1.5), то говорят, что имеет место нерезонансный случай; частное решение неоднородного уравнения (1.1) ищется в виде
yч = (Rp cosϕx +Tp sinϕx)eγx , |
(1.11) |
где p = max{m, n} - наибольшей |
из степеней многочленов |
Pm (x) и Qn (x), Rp и Tp - многочлены степени не выше p .
7
Если γ +iϕ является корнем (1.5) кратности s , то гово-
рят, что имеет место резонанс кратности s ; частное решение (1.1) ищется в виде
yч = xs (Rp cosϕx +Tp sinϕx)eγx . |
(1.12) |
Чтобы найти коэффициенты многочленов Rp и Tp , надо
подставить (1.11) или (1.12) в уравнение (1.1), приравнять коэффициенты при подобных членах и решить полученную систему алгебраических уравнений.
Если правая часть уравнения (1.1) представима в виде суммы нескольких функций f (x)= f1 (x)+ f2 (x)+...+ fl (x), то
частное решение неоднородного уравнения (1.1) состоит из суммы частных решений yi неоднородных уравнений
a0 yk (n) + a1 yk (n−1) +...+ an−1 yk ′ +an yk = fk (x) (k =1,l).
1.4. Примеры решения задач, предлагавшихся на экзаменационных контрольных работах
Пример 1.1 (1-01) Найти действительные решения уравнения y IV + 4 y′′ = 8e2 x +8x2 .
cИсходное уравнение неоднородное.
1.Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
y IV + 4 y′′ = 0 .
Составляем характеристическое уравнение: λ4 + 4λ2 = 0 .
|
Его корни λ1,2 |
= 0 , λ3 |
= 2i , |
λ4 = −2i . |
|
|
|
||
|
λ1,2 = 0 |
(кратности два) соответствуют частные решения |
|||||||
y |
= e0 x =1 |
и y |
2 |
= xe0 x |
= x , |
корням λ |
3,4 |
= ±2i |
- решения |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
y3 |
= cos 2x и y4 |
= sin 2x . |
|
|
|
|
|
Общее решение однородного уравнения в действительной форме
8
yo = C1 +C2 x +C3 cos 2x +C4 sin 2x ,
где C1 ,C2 ,C3 ,C4 - действительные произвольные постоян-
ные.
2. Частное решения неоднородного уравнения.
В нашем случае f (x)= 8e2 x +8x2 , т.е. f (x)= f1 (x)+ f2 (x), |
||||
где f1 (x)= 8e2 x , |
f2 (x)= 8x2 . |
|||
Поиск частного решения проводим методом неопреде- |
||||
ленных коэффициентов: |
|
|||
f |
1 |
(x)= 8e2 x |
= P (x)eγx , |
P (x)= 8 , т.е. m = 0 , γ = 2 . Та- |
|
|
m |
m |
ких корней у характеристического уравнения нет, следова-
тельно, |
кратность корня s = 0 . Т.о. частное решение ищем в |
||||||||
виде yч (x)= ae2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
(x)= ae2 x , в исходное дифференциальное |
|||||
Подставляя yч |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
уравнение при f (x)= f1 (x), получаем |
|
||||||||
16ae2 x + 4 4ae2 x (= 32ae2 x )= 8e2 x . |
|
||||||||
Приравнивая коэффициенты при e2 x , имеем |
|||||||||
32a = 8 , a = 1 |
и yч |
= |
1 |
e2 x . |
|
||||
|
|
||||||||
|
|
4 |
1 |
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
2 |
(x)= 8x2 = 8x2 e0 x |
= P (x)eγx , |
P (x)= 8x2 , следова- |
|||||
|
|
|
|
|
m |
|
m |
||
тельно |
m = 2 , γ = 0 (что соответствует λ1,2 = 0 ) - резонанс- |
||||||||
ный случай, кратность корня |
s = 2 , поэтому частное реше- |
||||||||
ние ищем в виде yч2 |
= x2Q2e0 x |
= x2 (ax2 +bx +c). |
|||||||
Подставляя y |
ч2 |
= ax4 +bx3 +cx2 , |
в исходное дифферен- |
||||||
|
|
|
|
f (x)≡ f2 (x), получаем |
|||||
циальное уравнение при |
|||||||||
24a + 4(12ax2 + 6bx + 2c)= 8x2 . |
|
Приравнивая выражения при одинаковых степенях x, имеем
9
x2 |
: |
48a |
|
|
= 8, |
|
|
|
|
1 , c = −3a = − |
1 |
|
|
|
||||||||||
x1 |
: |
24b |
|
|
= 0, это дает a = |
и |
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
x0 |
: 24a +8c |
|
= 0; |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
yч2 |
= x |
2 |
1 |
x |
2 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Частное решения неоднородного уравнения |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
yч (x)= yч (x)+ yч |
(x)= |
1 |
e2 x |
+ |
x4 |
− |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Общее решение неоднородного уравнения |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
y = yo + yч |
= C1 +C2 x +C3 cos 2x +C4 sin 2x + |
e2 x |
+ |
x 4 |
− |
x 2 |
|
n |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
|
2 |
|
|
Пример 1.2. (1-14) Найти действительные решения уравне-
ния y′′′+3y′′+ y′−5y =10e x −5x .
dИсходное уравнение неоднородное.
1.Найдем общее решение соответствующего однородного
уравнения:
y′′′+3y′′+ y′−5 y = 0 .
Составляем характеристическое уравнение:
λ3 +3λ2 + λ −5 = 0 .
Корень λ1 =1 - угадываем. (λ2 + 4λ +5)(λ −1)= 0 дает
λ2,3 = −2 ± 4 −5 = − 2 ± i .
Корню характеристического уравнения λ1 =1 соответствует частное решение y1 = ex , корням λ2,3 = −2 ±i - решения
y2 = e−2 x cos x и y3 = e−2 x sin x .
Общее решение однородного уравнения в действительной форме
yo = C1e x +C2e−2 x cos x +C3e−2 x sin x ,
где C1 ,C2 ,C3 - действительные произвольные постоянные. 2. Частное решения неоднородного уравнения.
10
|
В нашем случае |
f (x)=10e x −5x , т.е. |
f (x)= f1 (x)+ f2 (x), |
||||||||
где |
|
f1 (x)=10e x , |
f2 (x)= −5x . |
|
|
|
|
||||
|
Поиск частного решения проводим методом неопределен- |
||||||||||
ных коэффициентов: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
f |
1 |
(x)=10e x = P |
(x)eγx , P |
(x)=10 , т.е. |
m = 0 , |
γ =1 |
(что |
||
|
|
|
|
|
m |
m |
|
|
|
||
соответствует λ1 |
=1 ) - резонансный случай, кратность корня |
||||||||||
s =1 , поэтому |
|
частное |
решение |
ищем |
в |
виде |
|||||
y |
ч |
= x1Q ex = xaex . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
yч (x)= axex , |
|
|
|
|
||
|
Подставляя |
в исходное дифференциальное |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
уравнение при |
f (x)= f1 (x), получаем |
|
|
|
10ae x =10e x .
Приравнивая выражения при одинаковых функциях, име-
ем
10a =10 , a =1 и yч = xex . |
|
||
|
|
1 |
|
f |
2 |
(x)= −5x = −5xe0 x = P (x)eγx , |
P (x)= −5x , т.е. m =1 , |
|
m |
m |
|
γ = 0 |
(таких корней у характеристического уравнения нет), |
т.е. кратность корня s = 0 , поэтому частное решение ищем в
виде y |
ч2 |
= x0Q e0 x |
= ax +b . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя yч2 |
= ax +b ,. |
в исходное дифференциальное |
||||||||||||||
уравнение |
при |
|
|
|
f (x)≡ f2 (x), |
|
получаем |
|||||||||
0 + 3 0 + a − 5(ax + b)= −5x . |
Приравнивая |
выражения |
при |
|||||||||||||
одинаковых степенях, |
имеем |
x1 : |
−5a = −5, |
это дает |
a =1, |
|||||||||||
x0 : |
a −5b = |
0; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b = |
1 |
a = |
|
1 |
и yч2 = x + |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частное решения неоднородного уравнения yч (x)= yч1 (x)+ yч2 (x)= xex + x + 15
11
3. Общее решение неоднородного уравнения
y = yo + yч = C1e x +C2 e−2 x cos x +C3e−2 x sin x + xex + x + 15 . o
Пример 1.3. (1-24) Найти все действительные решения урав-
нения |
|
13 |
|
4 x |
. |
y′′′+ 4 y′′+ y′+ 4 y = 34sin x + 34x + |
4 |
e |
|
||
|
|
|
|
|
eИсходное уравнение неоднородное.
1.Найдем общее решение соответствующего однородного
уравнения:
y′′′ + 4 y′′+ y′+ 4 y = 0 .
Составляем |
характеристическое |
уравнение: |
λ3 + 4λ2 + λ + 4 = 0 . |
λ2,3 = ±i . |
|
Его корни λ1 = −4 , |
|
|
λ = −4 соответствует частное решение |
y = e−4 x , корням |
|
1 |
|
1 |
λ2,3 = ±i - решения y2 |
= sin x , y3 = cos x . |
|
Общее решение однородного уравнения в действительной форме
yo = C1e−4 x +C2 sin x +C3 cos x ,
где C1 ,C2 ,C3 - действительные произвольные постоянные. 2. Частное решения неоднородного уравнения.
В |
нашем |
случае |
f (x) |
|
|
|
34x + |
13 |
|
4 x |
, т.е. |
|||||
= 34sin x + |
4 |
e |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= f1 (x)+ f2 (x), |
|
|
где |
|
|
f1 (x)= 34 sin x , |
||||||||||
|
|
|
+ |
13 |
4 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 (x)= 34x |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4 |
|
|
(x)cos βx +Q |
|
(x)sin βx), |
|
|
|
|
|||
f |
|
(x)= 34 sin x = eγx (P |
n |
P |
(x)= 0 , |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
||
Qn (x)= 34 , |
p = max{m, n}= 0 , |
γ + βi = i - корень характери- |
стического уравнения - резонансный случай, кратность корня
12
s =1 , |
|
поэтому |
|
|
частное решение |
|
ищем |
|
|
|
в |
|
виде |
|||||||||||||||||||||||
yч |
|
(x)= x(a sin x +b cos x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(x)= x(a sin x +b cos x), в исходное дифферен- |
||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя yч |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= f1 (x), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
циальное |
уравнение |
|
при |
|
|
|
|
получаем |
||||||||||||||||||||||||||||
8(a cos x −b sin x)− 2(a sin x +b cos x)= 34 sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Приравнивая коэффициенты при cos x и при sin x , имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos x : |
8a − |
|
2b = 0, |
|
|
|
это |
|
дает |
|
|
|
|
|
a = −1, |
и |
||||||||||||||||||
|
|
sin x : |
−8b −2a = 34; |
|
|
|
|
|
|
b = −4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
yч |
|
= −x sin x −4x cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f2 (x)= |
|
|
|
|
13 |
4 x |
= |
Pm (x)e |
γx |
, |
Pm (x)= |
34x + |
13 |
, |
т.е. |
|||||||||||||||||||
|
|
34x + |
|
|
e |
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m =1 , |
γ = 4 не является корнем характеристического урав- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
нения, |
кратность |
|
корня |
s = 0 , |
поэтому |
частное |
|
решение |
||||||||||||||||||||||||||||
ищем в виде y |
ч |
= x0Q e4x |
= (ax +b)e4 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Подставляя |
|
|
yч |
2 |
= (ax +b)e4x , |
в исходное дифференциаль- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)≡ f2 (x), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ное уравнение при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
48a +64(ax +b)+32a +64(ax +b)+a +4(ax +b)+4(ax +b)= 34x + |
13 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Приравнивая выражения при одинаковых степенях, имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x1 : |
|
|
136a = 34, |
|
|
; это дает a = |
1 |
, b |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x0 : |
|
136b +81a = |
13 |
|
|
= − |
|
|
|
и |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
yч |
|
= |
1 |
x2 − |
1 |
|
e4 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Частное решения неоднородного уравнения |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
4 x |
|
|
|
|||||
|
|
yч = yч |
+ yч |
|
= |
− x sin x − 4x cos x + |
|
x |
|
− |
|
|
|
e |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Общее решение неоднородного уравнения
13