16. Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов.

Определение: Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов  называется число, определяемое по формуле: .

 Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение не меняется при циклической  перестановке его сомножителей, т.е. .

2.При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. .

3.Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов : =0.

4.Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. .

 Если известны координаты векторов , то смешанное произведение находится по формуле: 

Пример: Вычислить смешанное произведение векторов .

Решение: 

17. Метод координат и основные задачи аналитической геометрии.

Метод координат — способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов (например, положение шахматных фигур на доске определяется с помощью чисел и букв). Числа (символы), определяющие положение точки (тела) на прямой,плоскости, в пространстве, на поверхности и так далее, называются её координатами. В зависимости от целей и характера исследования выбирают различные системы координат.

Аналитическая геометрия — часть математики, в которой исследуются геометрические образы средствами алгебры на основе метода координат. В аналитической геометрии на плоскости ставятся две основные задачи: 1) зная геометрические свойства линии (как геометрического места точек), найти ее уравнение, т. е. уравнение, связывающее координаты ее текущих (переменных) точек, и 2) зная уравнение линии, связывающее ее текущие координаты х и y, найти геометрические свойства этой линии.

18. Прямые в r2. Различные виды уравнений прямой в r2

 В декартовой системе координат прямая представлена уравнением первой степени и, наоборот, всякое уравнение первой степени Ах+Ву+С = 0 представляет некоторую прямую. Различные виды уравнения прямой (с угловым коэффициентом, каноническое и т.п.) являются частными случаями этого общего уравнения.      Построим уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀) параллельно направляющему вектору . Возьмем любую точкуN (х,у), лежащую на заданной прямой. Вектор всегда будет параллелен вектору.      Условие параллельности векторов=(х-х₀; у-у₀) и , дает каноническое уравнение прямой линии на плоскости:.                                                                (1)      Введем вектор, перпендикулярный искомой прямой. Тогда из условия перпендикулярности векторовиможно записать. В результате получаем уравнение:А(х-х₀)+В(у-у₀)=0 или       Ах+Ву+С=0,                                                    (2)      где С=–Ах₀–Ву_0.     

    Уравнение (2) называется общим уравнением прямой на плоскости. Вектор называется нормалью.Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Q(2, –3) параллельно оси Оу.

    Решение. В качестве направляющего вектора можно взять вектор. Подставив данные в уравнении (1), получим:. Это каноническое уравнение обычно переписывают в общем виде:х–2=0 или х = 2.      При общее уравнение прямой (2) можно переписать в виде:у=k x +b,                                                        (3)      где .      Уравнение (3) называется уравнением с угловым коэффициентом; угловой коэффициентk = tg α, где α – угол наклона прямой к оси Ох. При k=0 ( α= 0)уравнение (3) дает прямую, параллельную оси Ох. Из уравнения (3) нельзя получить уравнение прямой, параллельной оси Оу. Поэтому все семейство наклонных прямых (3) дополняется прямыми:       х=а,                                               (4)       параллельными оси Оу. Уравнение (4) получено из уравнения (2) при В=0, где .

 Уравнение прямой, проходящей через 2 точки     

Пусть даны точки М0(х0, у0) и М1(х1, у1). Требуется написать уравнение прямой, проходящей через эти точки. Для решения задачи воспользуемся уравнением (1). В качестве направляющего векторавоспользуемся вектором:.

      Подставим l =x ₁– x₀ и m= y₁ –y₀ в каноническое уравнение (1), получим уравнение прямой, проходящей через две точки:       .                                                              (5)Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении      Пусть дана точка М₀(х₀, у₀). Требуется написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀ в заданном направлении.      Задачу будем решать в зависимости от того, как определено направление прямой. Если направление задается вектором , то такая прямая описывается уравнением (1). Если задан угловой коэффициентk= k₁, то уравнение прямой будет находить в форме (3): y =k₁ x+ b. Неизвестный коэффициент b найдем из условия y₀ = k ₁ x₀ + b (точка М₀ принадлежит прямой). Найденное b= y₀ – k ₁ x₀ подставим в уравнение y =k₁ x+ b. Искомое уравнение прямой запишем в виде:       y– y ₀= k₁ ( x– x ₀).                                                            (6)      Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Q(2,7) параллельно прямой 2х-4у+3=0.      Решение. Найдем угловой коэффициент прямой 2 х–4у +3=0:      .      Для искомой прямой угловой коэффициент будет таким же, так как прямые параллельны. Подставим данные в уравнение (6):.