УП_Вычисл_матем_Кузина-Кошев
.pdf13. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
13.1. Классификация уравнений с частными производными
Рассмотрим принципы классификации линейных дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными на примере линейного дифференциального уравнения второго порядка. Запишем его в канонической форме:
A(x,t) |
2u(x,t) |
2B(x,t) |
2u(x,t) |
C(x,t) |
2u(x,t) |
|
|||
|
x2 |
t x |
|
t 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
D(x,t) |
u(x,t) |
E(x,t) |
u(x,t) |
F (x,t)u(x,t) G(x,t), |
|||||
|
|
x |
|
|
t |
|
|
|
|
где u(x,t) – искомая функция; A(x,t), B(x,t),C(x,t), D(x,t), E(x,t), F(x,t) –
коэффициенты; G(x,t) – свободный член (правая часть).
Предполагается, что коэффициенты и правая часть являются заданными дважды дифференцируемыми функциями, причем
A(x,t) B(x,t) C(x,t) 0 .
Иногда используют упрощенную запись этого дифференциального уравнения:
Auxx 2Butx Cu Dux Eu Fu G.
Взависимостиотзнакавыражения AC B2 (дискриминанта), уравнение
вданной области относится к одному из следующих типов:
1)AC B2 0 – эллиптический тип;
2)AC B2 0 – параболический тип;
3)AC B2 0 – гиперболический тип;
4)AC B2 не сохраняет постоянного знака – смешанный тип.
Если искомая функция зависит от времени, уравнение называется
нестационарным, если не зависит от времени, то стационарным.
Во многих уравнениях присутствует сумма частных производных второго порядка, называемая оператором Лапласа:
u |
2u(x,t) |
|
2u(x,t) |
|
2u(x,t) |
– для трехмерной функции |
|
x2 |
y2 |
z2 |
|||||
u u(x, y, z), где x, y, z – прост- |
|||||||
|
2u(x,t) |
|
2u(x,t) |
|
|
ранственные переменные; |
|
u |
|
|
|
– для двухмерной функции u u(x, y). |
|||
x2 |
y2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Уравнения параболического типа описывают, например, процессы теплопроводностиидиффузии, гиперболического– колебательныесистемы и волновые движения, эллиптического – течение жидкости в стационарных
151
потоках, стационарное распределение напряженности электрического и магнитного полей.
Тип уравнения определяет формулировку задачи и численный методы его решения.
В математической физике различают три основных типа задач:
1.Задача Коши (с начальными условиями).
2.Краевые (граничные) задачи с краевыми (граничными) условиями.
3.Смешанные задачи (начально-краевые) с начальными и краевыми условиями.
13.2. Уравнение параболического типа (уравнение теплопроводности)
Рассмотрим уравнение теплопроводности (Фурье) вида |
|
||||||
|
U |
|
a 2U , |
|
|
|
|
|
t |
|
|
x2 |
|
|
|
U 0, x U0 x , |
x , 0 t T . |
|
|||||
Конечно-разностную аппроксимацию этой задачи представим следу- |
|||||||
ющей разностной схемой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
uk ,n 1 uk ,n |
|
a |
uk 1,n |
2uk ,n uk 1,n |
, |
(124) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
h2 |
|
||
uk ,0 U 0 xk , k 0, 1, , |
n 0,1, , N. |
|
Для определения области устойчивости разностной схемы используем так называемый спектральный признак, который соответствует проверке
устойчивости на частных решениях вида uk ,n neik ,neik n (cosk i sin k ) . Подставив его в выражение (124), получим:
n 1 n |
n , |
2a |
1 cos . |
|
|
|
h2 |
Следовательно, n 1 1 n 1 n 1 . Для устойчивости решения необходимо, чтобы
1 1, т.е. 1 2a 1 cos 1, h2
1 1 4ha2 1,
откуда следует, что
4ha2 2и h2 21a ,
что и является условием устойчивости.
152
Разностная схема (124) дает явное выражение для последовательного
вычисления uk ,n 1 через uk ,n , |
uk 1,n , uk 1,n |
(явная схема), но является условно |
|||||
устойчивой. |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим другую схему |
|
|
|
||||
|
uk ,n 1 uk ,n |
a |
uk 1,n 1 |
2uk ,n 1 uuk 1,n 1 |
, |
(125) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
h2 |
|
||
uk ,0 u0 xk |
, |
k 0, 1, , n 0,1, , N . |
|
Величины в правой части схемы (125) берутся с n 1 -го слоя. Разно-
стная схема (125) не дает явного выражения для расчета uk ,n 1 ; поэтому для
нахождения неизвестной функции необходимо решать систему большого числа линейных уравнений. Разностная схема (125) называется неявной.
Точки итерационных слоев для данной схемы (расчетная ячейка) можно изобразить в виде схемы (рис. 34).
Рис. 34. Расчетная ячейка
Для исследования устойчивости этой схемы на функциях вида uk ,n neik нужно повторить все рассуждения, проведенные для явной
схемы. В результате получим доказательство абсолютной устойчивости схемы (125).
13.2.1. Решение разностного уравнения для неявной схемы
Схему (125) запишем в виде
|
uk ,n 1 uk ,n |
a |
uk 1,n 1 2uk ,n 1 uk 1,n 1 |
0 , |
|
|
|
|
h2 |
|
|
uk ,0 u0 xk , |
k 0, 1, , K 1, |
n 0,1, , N. |
Рассмотрим задачу (126) с заданными условиями на границах x xK :
u0,n 1 n 1 , |
uK ,n 1 n 1. |
(126)
x x0 ,
153
Введем обозначение r a h2
(126) в виде
u0 ,
ruk 1 1 2r ukuK .
и, опустив индекс ( n 1), запишем схему
ruk 1 uk ,n , |
k 1, 2, , K 1, |
(127) |
Специфика системы (127) заключается в том, что каждое k-е уравнение содержит только три неизвестных: uk 1 , uk , uk 1 .
|
13.2.2. Метод прогонки |
|
|
|
|
|
||||||||
Решаемсистему (127) методомпрогонки: поскольку значение u0 |
задано, |
|||||||||||||
то из уравнения при k 1 находим соотношение между u1 |
|
и u2 . С помощью |
||||||||||||
этого соотношения, используя следующее уравнение, |
|
исключаем u1 и |
||||||||||||
получаем соотношение между u2 и u3 |
и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Предположим, что соотношение между uk |
и uk 1 известно: |
|
||||||||||||
|
|
|
|
uk 1 Lk uk M k . |
|
|
|
|
(128) |
|||||
Тогда из k-го уравнения получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
uk |
ruk 1 uk ,n rM k |
, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 2r rLk |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а соотношение между Lk 1 , |
|
M k 1 и Lk , |
M k будет иметь вид |
|
||||||||||
L |
|
|
|
r |
, M |
k 1 |
|
|
uk ,n rM k |
|
. |
(129) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k 1 |
|
1 2r rLk |
|
|
1 2r |
rLk |
|
|||||||
|
|
|
|
|
к. uk ,0 |
|||||||||
Следовательно, для любого k можно рассчитать |
Lk 1 , M k 1 (т. |
|||||||||||||
известно) через Lk , M k , |
и, |
поскольку u0 , то L1 0, |
M1 . Формулы |
|||||||||||
(128) позволяют вычислить |
все Lk , M k . Далее, так как uK , по формуле |
|||||||||||||
(127) находим последовательно все значения uk , k 1, 2, , k 1. |
|
Основное достоинство метода прогонки заключается в его экономичности. Можно доказать, что при решении системы (127) методом прогонкиточностьрезультатасовпадает сточностьюрасчетаиточностьюзадания исходных данных.
Можно доказать также, что разностная схема (127) устойчива при любых соотношениях шагов τ и h.
154
13.2.3. Итерационные методы
Систему (127) перепишем в виде
u0 |
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
r uk 1 |
uk 1 |
uk ,n |
|
|
|
|
|
|
|
|
(130) |
|||
uk |
|
|
|
|
, k 1, 2, |
, K 1, |
||
|
1 2r |
|||||||
|
|
. |
|
|
|
|||
u |
|
|
|
|
|
|||
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
Подставив в правую часть уравнения m-е приближение uk(m) , получим в левой части uk(m 1) .
Докажем сходимость метода к точному решению.
Пусть uk ,m U k k ,m , где U k – точное решение системы (130). Подставив это выражение в систему (130), получим:
|
|
|
0(m 1) |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(m 1) |
|
|
|
(m) |
|
|
|
(m) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
k |
|
|
|
k 1 |
k 1 |
, |
|
k 1, 2, , K 1, |
|
|
|
|||||||||||||||||
1 2r |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(m 1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Оценим |
|
(km 1) |
|
: |
|
|
|
(km 1) |
|
|
|
|
|
2r |
|
|
|
|
(km) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2r |
|
k |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, от итерации к итерации величина |
|
|
|
уменьшается со |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
скоростью геометрической |
|
прогрессии |
|
со знаменателем |
|
2r |
. Значит, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 2r |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(km) 0, и процесс сходится. Скорость сходимости определяется вели-
чиной |
|
|
2r |
|
. Можно показать, что число |
итераций |
для получения |
|
1 |
2r |
|||||||
|
|
|
r , значит, при |
|||||
достаточно |
точного решения приблизительно |
равно |
достаточно небольших значениях r метод итерации является эффективным, но он медленно сходится при больших r.
Метод итераций можно применять и в том случае, когда задача нелинейна, т.е. a a(u) и, следовательно, r r(uk ) .
13.3. Уравнения эллиптического типа (уравнения Лапласа и Пуассона)
Исследования стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность и др.), а также задачи, описывающие стационарные состояния систем, полей, часто приводят к уравнениям эллиптического типа.
155
Двухмерное уравнение эллиптического типа имеет вид |
|
|||
2U |
2U |
f x, y . |
(131) |
|
dx2 |
dy2 |
|
|
|
Эллиптическое уравнение, |
когда |
f 0 , |
носит название |
уравнения |
Лапласа. Неоднородное уравнение Лапласа |
f 0 называется уравнением |
Пуассона.
Рассмотрим контур Γ, ограничивающий расчетную область G, и функцию u g x , y , заданную на границе области G и являющуюся
граничным условием (рис. 35).
Рис. 35. Расчетная область
13.3.1.Построение разностной схемы
1)Покрываем область G расчетной сеткой hx hy h .
2)Производную заменяем разностными аналогами
|
|
uk 1,m 2uk ,m |
uk 1,m |
|
uk ,m 1 2uk ,m uk ,m 1 |
fk ,m . |
(132) |
||||||||||
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
fk ,m f xk , ym – сеточная функция. |
|
|
||||||||||||||
|
Это разностное уравнение имеет смысл для любой внутренней точки, |
||||||||||||||||
т.е. |
для любой |
точки |
k,m , для которой точки |
k 1,m , k 1,m , |
|||||||||||||
k,m 1 , k,m 1 |
расположены внутри области G. Остальные расчетные |
||||||||||||||||
точки k,m G объявим |
граничными. Их совокупность обозначим |
||||||||||||||||
символом γ, и значения uk ,m |
на γ получим простым переносом значения g из |
||||||||||||||||
ближайшей точки границы Γ: u |
|
g |
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
13.3.2. Аппроксимация |
|
|
|||||||||||
|
Аппроксимация следует из того, что разностная схема (132) переходит |
||||||||||||||||
в уравнение (131) при h 0 |
и u |
|
g |
|
, так как . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
156