38. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

,где a_n - коэффициенты степенного ряда, x_0 - центр ряда.

Теорема 1: Теорема Абеля.

Пусть ряд сходится в точке x. Тогда он сходится при любом x, удовлетворяющем неравенству

, причём на любом отрезке внутри интервала сходимость равномерная.

Следствие из теоремы Абеля.

Если ряд расходится в точке x, то он расходится и при любых

Теорема 2: Теорема о радиусе сходимости.

Для каждого степенного ряда существует , удовлетворяющее свойствам:

1. Если R=0, то ряд сходится только при x=0

2. Если R=беск, то ряд сходится при любых x(-беск.: беск)

3. Если 0<R<беск, то ряд сходится при (-R:R) и расходится при x не пренад (-R:R)

39. Формула Тейлора, ряд Тейлорв.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд называется рядом Тейлора функции f в точке a.