7. Интегрирование подстановкой и по частям в опред интеграле

Интегрирование подстановкой

Теорема. Если

То

Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b],

Интегрирование по частям

Теорема: если ф-ция u=u(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b],то имеет место формула

8. Теорема о производной от интеграла по переменному верхнему пределу.

Если в определенном интеграле изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела.

Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x: Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом:

Доказательство. По определению производной

где

[первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]=

[по теореме о среднем]= где Тогда следует из определения непрерывной функци, т.к. при

Таким образом, Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции f(x).

9. Формула Ньютона – Лейбница.

Сравнивая две формулы для площади криволинейной трапеции, приходим к следующему заключению: если F ( x ) - первообразная функции f ( x ) на отрезке [ a, b ] , то

формула справедлива для любой функции f ( x ), непрерывной на отрезке [ a, b ] .

10. Геометрические приложения определенных интегралов

Схемы применения определенного интеграла

Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a;b] изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; b] точкой с є (а; b) на части [а; с] и [с; b] значение величины А, соответствующее всему отрезку [а; b], равно сумме ее значений, соответствующих [а; с] и [с; b].

Первая схема базируется на определении определенного интеграла.

1. Точками х0 = а, x1,..., xn = b разбить отрезок [а;b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на n «элементарных слагаемых» ΔAi (i = 1,...,n): А = ΔA1+ΔА2 +...+ ΔАn.

2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину: ΔAi ≈ ƒ(ci)Δxi.

Получим приближенное значение величины А

в виде интегральной суммы:

3. Искомая величина А равна пределу

11. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования

Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при наз несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается

По определению,

Если этот предел существует и конечен, интеграл наз сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

1. Если на промежутке [a;+∞) непрерывные ф-ции f(x) и фи(x) удовлетворяют условию 0≤f(x)≤фи(x) то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла

2. Если сущ предел то интегралы одновременно оба сходятся или оба расходятся