- •Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Теорема о совокупности первообразных. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
- •Интегрирование подстановкой и по частям в неопределенном интеграле.
- •Инегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование некоторых тригонометрических функций и некоторых иррациональностей.
- •Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла.
- •7. Интегрирование подстановкой и по частям в опред интеграле
- •8. Теорема о производной от интеграла по переменному верхнему пределу.
- •9. Формула Ньютона – Лейбница.
- •10. Геометрические приложения определенных интегралов
- •11. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования
- •12.Дифференциальные уравнения 1 порядка.
- •13.Дефференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •14. Однородные д.У первого порядка.
- •15. Линейные д.У 1 порядка
- •19. Однородные д.У с постоянными коэффициентами.
- •Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
- •20, Линейные неоднородные д.У. Теорема об общем решении.
- •22. Комплексные числа и действия над ними. Формы записи комплексных чисел, возведение в степень. И извлечение корня из комплексного числа.
- •Арифметические действия с комплексными числами
- •Алгебраическая форма записи комплексного числа
- •Извлечение корня квадратного из отрицательного числа
- •Возведение в степень комплексного числа
- •23. Понятие фнп. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке.
- •24. Частные производные. Производные высших порядков. Теорема о смешанных частных производных.
- •25. Дифференциал функции двух переменных.
- •26. Производная сложной функции.
- •27. Дифференцирование функции, заданной неявно.
- •28. Скалярное поле. Линии уровня. Производная по направлению.
- •29. Градиент и его свойства.
- •30. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
- •31. Квадратичная форма. Критерий Сильвестора. Достаточное условие экстремума.
- •32. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости числового ряда. Свойства числовых рядов.
- •33. Признаки сравнения для положительных числовых рядов.
- •34. Признак Даламбера.
- •35. Интегральный признак Коши.
- •36. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •37. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •38. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
- •39. Формула Тейлора, ряд Тейлорв.
12.Дифференциальные уравнения 1 порядка.
Общий вид F(x;y;y’)=0 e . Уравнения связывает переменную x, искомую функцию y и ее производную y’, то его записывают в виде y’=f(x;y) и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной. Диф. Уравнение 1-го порядка,разрешено относительно производной, можно записать в диф. Форме P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0. Общ. Решения y=ϕ(x;c): 1) функц.ϕ(x;c) является решением ДУ при каждом фиксированном значении с.2)Каково бы ни было начальное условие можно найти такое значение постоянной с=сₒ, что функция y=ϕ(x;cₒ) удовлетворяет данному начальному условию.Частным решением ДУ:1)назавается любая функция y=ϕ(x;cₒ).юполученная из общего решения y=ϕ(x;c) при конкретном значение постоянной с=сₒ.2)если общее решение ДУ найдено в неявном виде,т.е. в виде уравнения Ф(x;y;с)=0,то такое решение называется общим интегралом ДУ.Уравнение Ф(x;y;сₒ)=0 в этом случае называется частным интегралом уравнения.Теорема(Существования и единственности решения задачи Коши) Если в уравнении y’=f(x;y) функция f(x;y) и ее частная производная f’ᵧ(x;y)непрерывны в некоторой области D,содержащей точку(xₒ;yₒ), то существует единое решение y=ϕ(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному уславию.Геометрический смысл: при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ,проходящая через точку(xₒ;yₒ)
13.Дефференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
P(x)dx+Q(y)dy=0 в нем одно слагаемое зависит только от x,а другое –от y.Такие ДУ назыв. Уравнениями с разделенными переменными. Общий итеграл:∫P(x)dx+∫Q(y)dy=c.Замечание:1)При проведение почленного деления ДУ на Q₁(y)*₂P(x) могут быть потеряны некоторые решения.Поэтому следует отдельно решить уравнение Q₁(y)*₂P(x)=0 и установить её решения ДУ,которые не могут быть получены из общего решения .2)Уравнение y’=f₁(x)*f₂(y) сводится к уравнению разделенными переменными.Для этого y’= и разделить переменные.3)Уравнение y’=f(ax+dy+c) a,d,c – число,замены ax+dy+c=u дифференцируем,получаем: откуда следует интегрируя это уравнение и заменяя u на ax+by+c, получим общий интеграл исходного уравнения.
14. Однородные д.У первого порядка.
)M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 y’=f(x;y) M(xy), N(xy) f(x;y) однород.функция в степени k f(tx;tq) tᵏf(x;y) проверим функц. На однородность,однор. Деф. Урав. 1-го порядка его решаенм вспомащью подстановки: y=Ux ,y=u’x+u После преобразований получаем деф. Уравнения с разделяющ.переме. решая получаем интеграл yэ=u’x+u x=0(y≠0) U=Uкорн.ур. M(1;u)+N(1-u)u=0,f(tx;tu=f(x;y)=t⁰f(x;y)однород.деф.в 0- степени. U’x+u=2
, y=ux yₒ=xln²(xc)приверим:u=0,y=0 0=2y+=0 y=0 –особое решение
15. Линейные д.У 1 порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение видаЗдесь a(x) и b(x) — известные, непрерывные на [a;b] функции. Доказано, что если функции a(x) и b(x) непрерывны на [a;b] , то для любой начальной точки (x0, y0) , x0∈ [a; b] , задача Кошиимеет единственное решение y = y(x) на [a;b].
18, Теорема об общем решении однородного д.у. Теорема 1 (о структуре общего решения линейного однородного ДУ). Если функции y1(x), y2(x), … , yn(x) образуют фундаментальную систему решений ДУ (2), то функция (3)является общим решением этого уравнения в области , , , … , ; ci – произвольные постоянные, [ а, b ] – область непрерывности коэффициентов ai (x) уравнения (2), i = 1,2,...,n.
17. Линейные однородные д.у 2-го порядк. Свойства решений. Определитель Вронского. 14.5.4. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения (25). 14.5.4.1. Теорема о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство. Док-во. Требуется доказать, что множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (25) (или, что тоже самое, (21)), т.е. не менее n раз дифференцируемых функций y(x) для которых Ln(y) = 0, является линейным пространством. Для этого достаточно доказать, что если функции y, y1(x), y2(x) - частные решения (25), то функции Cy, y1(x) + y2(x) - тоже частные решения (25). Действительно, пользуясь свойствами пункта 14.5.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства, получим если Ln(y) = 0, то Ln(Cy) = CLn(y) = 0; если Ln(y1) = 0 и Ln(y2) = 0, то Ln(y1 + y2) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0. Следствие. Если y1(x), y2(x), …, yn(x) - частные решения уравнения (25), то их линейная комбинация C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) - тоже частное решение этого уравнения. Теперь мы займемся определением размерности этого пространства и нахождением его базиса. Предварительно сформулируем и докажем несколько свойств определителя Вронского системы решений уравнения (25). Теорема 14.5.4.2. Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке , то система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b). Док-во. Пусть . Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой W(x0) является определителем, имеет нетривиальное решение относительно C1, C2, …, Cn. Рассмотрим линейную комбинацию функций y1(x), y2(x), …, yn(x) с этими коэффициентами C1, C2, …, Cn: y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x). Эта функция удовлетворяет уравнению (25) и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке x0, т.е. является решением задачи Коши , Этой же задаче Коши удовлетворяет и функция y(x) = 0, тождественно равная нулю на интервале (a, b). Вследствие единственности решения задачи Коши y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cnyn(x) = 0 для . Таким образом, система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима на (a, b), и по Теореме 14.5.4 о вронскиане линейно зависимой системы её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b). Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется определитель