- •Принципы построения, устойчивость и точность численных методов
- •Явные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Явный метод Эйлера
- •Метод Рунге – Кутта – Мерсона
- •Метод Адамса – Башфорта
- •Методы Фельберга
- •Методы Ингленда
- •Методы Нюстрема
- •Явные методы Милна
- •Явные методы Хемминга
- •Экстраполяционные методы
- •Неявные методы Милна
- •Неявные методы Хемминга
- •Методы дифференцирования назад
- •Неявные методы Рунге-Кутта
- •Описание математической модели солнечной системы и параметры ее траектории.
- •Определение и свойства моделей
- •Развитие модели Солнечной системы
- •Описание модели Солнечной системы
- •Преобразование координат в плоскости орбиты
- •Определение положения планеты на орбите в новый момент времени
- •Алгоритм прогнозирование величины радиуса
- •Алгоритм прогнозирования угла
- •Дополнительные условия
- •Вычисление декартовых координат
- •Начальные данные.
- •Вычисления и сравнения.
- •Литература
-
Преобразование координат в плоскости орбиты
Если известны в момент времени T координаты (x,y,z) и скорости (vx,vy,vz) планеты в неподвижной гелиоцентрической экваториальной системе координат Sxyz, можно определить ее положение на орбите в полярной системе координат r, с помощью выражений:
(34) |
|
(35) |
|
(36) |
|
(37) |
|
(38) |
|
(39) |
|
(40) |
|
(41) |
|
(42) |
-
Определение положения планеты на орбите в новый момент времени
-
Алгоритм прогнозирование величины радиуса
Выражение (42) для радиуса r не выражается в явной форме, то задача решается методом последовательных приближений. Итерационный процесс реализован в двух вариантах: по радиусу r и по полярному углу φ. В первом варианте прогнозируемое значение радиуса в новый момент времени T1 =T+ h.
(43) |
где hi –значение приращения времени в i-ой итерации.
Время движения планеты от перигелия до точки с радиусом определяется, как и величина tp, по формуле (42), , а затем находим разность времен между двумя положениями планеты
(44) |
Далее можно определить отклонение между этой величиной и заданным приращением времени h
(45) |
и ее относительное значение по очевидной формуле
(46) |
Пусть точность вычислений характеризуется величиной EPS. Если , то вычисляемое новое приращение времени
(47) |
и повторяем процесс итераций, начиная с формулы (45). Итерационный процесс прекращается при достижении .
Таким образом, при завершении итерационного цикла мы определяем для нового момента времени T1 полярные координаты 1 и r1 планеты в плоскости ее орбиты с заранее заданной точностью EPS.
-
Алгоритм прогнозирования угла
Для орбит, близких к круговым, полярный радиус планеты r практически не изменяется, поэтому используется итерационный цикл по углу φ. В новый момент времени T1 мы прогнозируем значение угла φ1 с учетом второй производной:
(48) |
Время движения планеты от перигелия до точки с полярным углом по формуле
(49) |
Аналогично выражению (44) рассчитывается разность времени
(50) |
Далее повторяется алгоритм описанный соотношениями (45)-(47).
-
Дополнительные условия
Необходимость дополнительных условий обусловлена тем, что:
-
время прохождения планетой нижней и верхней частей эллиптической орбиты определяется одними и теми же зависимостями (30) и (49);
-
угол является циклической переменной;
-
в апсидных точках с радиусами Rp и Ra возникают особенности;
-
существует ряд др. причин.
-
Вычисление декартовых координат
По найденным полярным координатам планеты r, φ в плоскости ее орбиты определяются ее декартовы координаты в неподвижной системе координат Sxyz.
(51) |
|
y= |
(52) |
(53) |
Реальные параметры орбит планет подвержены вековым изменениям, т.е. их параметры p(t), Ω(t) и i(t), e(t), Rp(t) и Ttr(t) являются функциями времени. Поэтому, если на каждом шаге вычислений полярные координаты планеты преобразовывать в декартовые координаты, тогда последние будут представлять движение планеты практически с той же точностью, что и вековые изменения параметров орбиты.