- •Математика
- •Часть III. Элементы теории вероятностей
- •280202 «Инженерная защита окружающей среды» и 080505 «Управление персоналом»
- •Зав. Кафедрой, д-р физ.-мат. Н., профессор __________ к. П. Арефьев Аннотация
- •1. Цели и задачи учебной дисциплины
- •2. Содержание теоретического раздела дисциплины
- •Тема 1. Элементы комбинаторики
- •Тема 2. Элементы теории вероятностей
- •Содержание практического раздела дисциплины
- •3.1. Тематика практических занятий
- •4. Контрольные работы
- •4.1. Общие методические указания
- •4.2. Методические указания по выполнению контрольной работы № 5
- •1. Элементы комбинаторики
- •2. Случайные события, их классификация и действия над ними
- •3. Задачи на классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность
- •4. Вычисление вероятностей сложных событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность
- •5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •6. Повторение опытов
- •Общая теорема о повторении опытов
- •4.3. Варианты заданий для контрольной работы № 5 Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •4.4. Методические указания к выполнению контрольной работы № 6
- •1. Случайные величины и их законы распределения
- •Ряд распределения
- •Функция распределения
- •Плотность распределение
- •2. Числовые характеристики случайных величин
- •3. Некоторые законы распределения случайных величин Равномерное распределение
- •Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона
- •Показательное (экспоненциальное) распределение. Функция надежности
- •4. Закон больших чисел
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •4.5. Варианты заданий для контрольной работы № 6 Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •5.1. Литература обязательная
- •Математика
- •Часть III. Элементы теории вероятностей
- •Светлана Владимировна Рожкова
- •Рецензент: к. П. Арефьев, д. Ф.-м. Н., профессор каф. Вм енмф
Предельные теоремы теории вероятностей
Теорема Бернулли. Относительная частота успехов в независимых испытаниях по схеме Бернулли сходятся по вероятности при к вероятности успеха в одном испытании.
Центральная предельная теорема (Ляпунова). Если случайные величины в последовательности независимы, одинаково распределены и имеют конечные математическое ожидание и дисперсию , то для любого действительного
, где – стандартизированное среднее арифметическое случайных величин в последовательности.
Пусть – число успехов в независимых испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при достаточно больших значениях
,
где – табулирована и (интегральная теорема Муавра – Лапласа).
, где ,
– функция табулирована (локальная теорема Муавра – Лапласа).
Пример 1.
Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие наступит 120 раз в 144 испытаниях.
Решение.
По условию задачи . Воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Найдем значение аргумента
.
По таблице функций находим, что . Искомая вероятность равна
.
Пример 2.
Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятность следующих событий: (в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет меньше 20 ошибок), (будет сделано ровно 7 ошибок).
Решение.
Для вычисления вероятности события применим интегральную теорему Муавра – Лапласа.
. Искомая вероятность будет
.
По таблицам функции находим, что
, .
Искомая вероятность равна
.
4.5. Варианты заданий для контрольной работы № 6 Задача 1
-
Случайная величина – число попаданий в корзину при одном броске. Вероятность попадания равна 0,3. Найти .
-
Случайная величина – число попаданий мячом в корзину при двух бросках. Вероятность попадания равна 0,4. Найти .
-
Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Случайная величина – число отказавших элементов в одном опыте. Найти .
-
Дискретная случайная величина – число мальчиков в семьях с четырьмя детьми. Рождение мальчика и девочки считаются равновероятными. Найти вероятности событий: , , .
-
Производится опытов по схеме Бернулли. Вероятность «успеха» в каждом опыте равна . Случайная величина – число «неудач» в – опытах. Построить график функции распределения при =5, =0,5.
-
В урне 5 белых и 25 чёрных шаров. Вынимается один шар. Случайная величина – число вынутых белых шаров. Найти .
-
Автомобиль должен проехать по улице, на которой установлены три светофора, дающие независимо друг от друга зелёный сигнал в течение 1,5 мин., жёлтый – в течение 0,3 мин., красный – в течение 1,2 мин. Случайная величина – число остановок автомобиля на этой улице. Найти .
-
В коробке имеется 7 карандашей, из которых 4 красные. Из коробки извлекают три карандаша. Случайная величина – число красных карандашей в выборке. Найти вероятность события и .
-
На пути движения автомобиля расположены 4 светофора. Каждый из них, с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает движение. Случайная величина – число светофоров, встреченных машиной до первой остановки. Найти .
-
Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Случайная величина – число проб при открывании замка; испробованный ключ более не используют. Найти .
-
В ящике лежат – изделий, из которых одно бракованное. Из ящика извлекают изделия одно за другим до тех пор, пока не будет вынуто бракованное изделие. Случайная величина – число вынутых изделий. Найти .
-
Выбирают по одной букве из слов день и ночь. Случайная величина равна 1, если обе буквы гласные; =0, если буквы согласные; в остальных случаях. Найти .
-
Производится два независимых выстрела по мишени. Случайная величина – разность между числом попаданий и числом промахов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Найти .
-
Дискретная случайная величина задана законом распределения
-
-2
-1
0
1
2
0,1
0,2
0,2
0,4
0,1
Найти . Найти вероятности событий:; .
-
Дискретная случайная величина задана законом распределения
-
0
1
2
3
4
0,05
0,2
0,3
0,35
0,1
Найти . .
-
Дан ряд распределения случайной величины
-
10
20
30
40
50
0,2
0,3
0,35
0,1
0,05
Найти .
-
Случайная величина – число очков, выпавших на верхней грани игральной кости при её бросании. Определить тип случайной величины, и найти её закон распределения.
-
Закон распределения случайной величины характеризуется следующей таблицей
-
0
2
3
6
0,2
0,3
0,1
0,4
Найти аналитический вид функции распределения случайной величины
и построить график
-
Случайная величина принимает значения – 2, 0 и 2 с вероятностями, соответственно, равными . Найти и построить её график.
-
Случайная величина характеризуется следующим распределением вероятностей
-
–3
–2
0
1
3
0,2
0,1
0,2
0,4
0,1
Найти и построить график.