- •§ 1. Схема расчета нетто-премий
- •§ 2. Полное страхование жизни
- •2.1. Полное дискретное страхование жизни
- •2.2. Полное непрерывное страхование жизни
- •2.3. Полное непрерывное страхование жизни с выплатой премий т раз в год
- •§ 3. Временное страхование жизни
- •§ 4. Страхование рент
- •§ 5. Расчет защитной надбавки
- •5.1.Вероятность неразорения
- •5.2. Полное страхование жизни
- •§ 6. Актуарное накопление для страховых рент
- •§ 7. Премии, учитывающие издержки
Г Л А В А V
П Е Р И О Д И Ч Е С К И Е П Р Е М И И
§ 1. Схема расчета нетто-премий
В предыдущих главах мы рассмотрели долгосрочные контракты по страхованию жизни, которые оплачивались единовременным страховым взносом (премией) . Однако такие контракты встречаются достаточно редко, так как слишком велика их стоимость. Как правило, долгосрочные страховые контракты оплачиваются застрахованным в рассрочку (периодически) – ежегодно, ежеквартально, ежемесячно.
Предположим, что страховая премия выплачивается в виде серии платежей в течение некоторого срока с момента заключения договора страхования. При такой периодической уплате взносов застрахованный выполняет свои обязательства в рассрочку. Однако при этом стоимость обязательств компании не зависит от способа уплаты страховых премий.
При расчете величины периодически уплачиваемых премий необходимо учитывать как процентный доход от инвестиций, так и демографические факторы (смертность). Последний фактор оказывает существенное влияние на величину взносов, так как не все застрахованные успевают уплатить все предусмотренные контрактом взносы.
В общем виде, схема расчета нетто-премий может быть представлена следующим образом. Пусть - искомая нетто-премия. Тогда современная актуарная стоимость обязательств застрахованного будет функцией , то есть . Актуарная современная стоимость финансовых обязательств компании также является функцией : . И для вычисления необходимо применить принцип финансовой эквивалентности обязательств страховой компании и застрахованного, а это означает, что необходимо решить уравнение:
, (1)
которое представляет собой условие равенства обязательств застрахованного и страховой компании на момент заключения договора страхования.
Отметим, что, как и ранее, полная периодическая премия состоит из нескольких частей: периодическая нетто-премия , защитная (страховая) надбавка и расходы, возмещающие организационные затраты.
Применим теперь общую схему (1) к различным вариантам страхования жизни.
§ 2. Полное страхование жизни
2.1. Полное дискретное страхование жизни
Пусть плата за страховку вносится в начале каждого года с момента заключения договора страхования в сумме в течение всей жизни. Так как договор страхования вступает в силу только после получения компанией первого взноса, то рента страховых платежей (премий) является рентой пренумерандо. Тогда актуарная приведенная стоимость потока премий на момент заключения договора страхования будет равна:
.
Страховая компания выплачивает единичную сумму в конце года смерти застрахованного. Актуарная современная стоимость этой суммы на момент заключения договора страхования будет равна , то есть .
Следовательно, из равенства (1) получаем:
,
или
. (2)
Формула (2) показывает во сколько раз величина ежегодного взноса меньше величины единовременно уплачиваемого взноса . Поэтому величину коэффициента приведения годовой ренты называют еще коэффициентом рассрочки.
Периодическую нетто-премию можно выразить и при помощи характеристик, рассмотренных нами ранее, как:
,
,
. (2ґ)
№ 38. Вычислите периодическую нетто-премию при полном дискретном страховании жизни человека в возрасте 30 лет, если эффективная годовая процентная ставка равна 20%, а продолжительность жизни описывается моделью де Муавра с предельным возрастом в 120 лет. Обязательства страховой компании заключаются в выплате 100000 руб. в конце года смерти застрахованного.
Решение. Учитывая результаты, полученные в №№ 29 и 32, можем вычислить:
или в рублях:
руб.
Таким образом, ежегодный платеж при полном дискретном страховании жизни составит 980,38 руб.
Ответ: 980,38 руб.
Если период уплаты нетто-премий ограничен, например, n годами, то обязательства застрахованного будут выглядеть как
,
и ежегодная нетто-премия будет равна:
. (3)