- •4. Вычисление вероятностей сложных событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность
- •5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •6. Повторение опытов
- •Общая теорема о повторении опытов
- •4.3. Варианты заданий для контрольной работы № 5 Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •4.4. Методические указания к выполнению контрольной работы № 6
- •1. Случайные величины и их законы распределения
- •Ряд распределения
- •Функция распределения
- •Плотность распределение
- •2. Числовые характеристики случайных величин
- •3. Некоторые законы распределения случайных величин Равномерное распределение
- •Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона
- •Показательное (экспоненциальное) распределение. Функция надежности
- •4. Закон больших чисел
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •4.5. Варианты заданий для контрольной работы № 6 Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •5.1. Литература обязательная
- •Математика
- •Часть III. Элементы теории вероятностей
- •Светлана Владимировна Рожкова
- •Рецензент: к. П. Арефьев, д. Ф.-м. Н., профессор каф. Вм енмф
5. Формула полной вероятности и формула Байеса
Пусть рассматривается полная группа событий (попарно несовместные, которые называются гипотезами), и если событие может наступить только при появлении одной их этих гипотез, то вероятность события вычисляется по формуле полной вероятности:
,
или
,
где – вероятность гипотезы ..
– условная вероятность события при этой гипотезе. Если до опыта вероятности гипотез были , а в результате опыта появилось событие , то с учетом этого события «новые», т. е. условные, вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:
.
Формула Байеса дает возможность переоценить вероятности гипотез с учетом уже известного результата опыта.
Пример 1.
Имеется три одинаковые урны. В первой белых шаров и черных; во второй – белых и черных; в третьей только белые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Решение.
Пусть событие – появление белого шара. Формулируем гипотезы: – выбор первой урны;
– выбор второй урны;
– выбор третьей урны;
,
, , ;
по формуле полной вероятности
.
Пример 2.
Имеются две урны: в первой белых шаров и черных, во второй – и черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шара шар; шары перемешиваются и затем из второй урны в первую перекладывается один шар. После этого из первой урны берут наугад один шар. Найти вероятность того, что он был белым.
Решение.
Гипотезы: – состав шаров в первой урне не изменился;
– в первой урне один черный шар заменен на белый;
– в первой урне один белый шар заменен черным;
;
;
Полученное решение говорит о том, что вероятность вынуть белый шар не изменится, если доли белых шаров и черных шаров в обеих урнах одинаковы .
Ответ: .
Пример 3.
Прибор состоит из двух узлов, работа каждого узла безусловно необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени ) первого узла равна , второго . Прибор испытывается в течение времени , в результате чего обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.
Решение.
До опыта возможны четыре гипотезы:
– оба узла исправны;
– первый узел отказал, второй исправен;
– первый исправен, второй отказал;
– оба узла отказали;
Вероятности гипотез:
Наблюдалось событие – прибор отказал:
По формуле Байеса:
Ответ: .
6. Повторение опытов
Если производится независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностно появляется событие , то вероятность того, что событие произойдет в этих опытах ровно раз, выражается формулой:
,
где .
Вероятность хотя бы одного появления события при независимых опытах в одинаковых условиях равна:
.
Вероятность того, что событие наступит а) менее раз; б) более раз; в) не менее раз; г) не более раз находим соответственно но формулам:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Общая теорема о повторении опытов
Если производится независимых опытов в различных условиях, причем вероятность события в -м опыте равна , то вероятность того, что событие появится в этих опытах ровно раз, равна коэффициенту при в разложении по степеням производящей функции
, где .
Пример 1.
Прибор состоит г из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени ) для каждого узла . Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за время :
а) откажет хотя бы один узел;
б) откажет ровно один узел;
в) откажут ровно два узла;
г) откажет не менее двух узлов.
Решение.
а) , где
б) ;
в) ;
г) .
Пример 2.
В урне 30 белых и 15 черных шаров. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из 5 вынутых шаров окажется 3 белых.
Решение.
Вероятность извлечения белого шара , можно посчитать одной и той же во всех 5 испытаниях: тогда вероятность непоявления белого шара. Используя формулу Бернулли получаем:
.
Ответ: .
Пример 3.
Монету подбрасывают восемь раз. Какова вероятность того, что шесть раз она упадет гербом вверх?
Решение.
Имеем схемуиспытаний Бернулли. Вероятность появления Ге в одном испытании , тогда
.
Ответ: 0,107.
Пример 4.
Производится четыре независимых выстрела, причем – вероятность попадания в мишень есть средняя из вероятностей
Найти вероятности: .
Решение.
Найдем
По формуле Бернулли имеем
Пример 5.
Имеется пять станций, с которыми поддерживается связь. Время от времени связь прерывается из-за атмосферных помех. Вследствие удаленности станций друг от друга перерыв связи с каждой из них происходит независимо от остальных с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в данный момент времени будет поддерживаться связь не более чем с двумя станциями.
Решение.
Событие – имеется связь не более чем с двумя станциями.
Ответ: 0,72.
Пример 6.
Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящей из десяти единиц. Каждый из объектов может быть (независимо от других) потерян с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что хотя бы один из объектов будет потерян.
Решение.
Вероятность потери хотя бы одного объекта можно найти по формуле:
,
но проще воспользоваться вероятностью противоположного события – ни один объект не потерян – и вычесть ее из единицы
.
Ответ: 0,65.