- •Лекции по математическому анализу.
- •Функции
- •Пусть и Функция удовлетворяет условию (1) и (2), т.К. Всякое вещественное есть куб некоторого вещественного числа и разные вещественные числа имеют разные кубы. Поэтому функция имеет
- •Последовательность.
- •Гиперболические функции.
- •Критерий Коши.
- •Пределы и непрерывность функции. Предел функции в точке
- •Непрерывность функции в точке.
- •Свойства функций, имеющих пределы в данной точке.
- •Свойства функций
- •Односторонние пределы и односторонняя непрерывность функции в точке.
- •Теорема 6
- •Предел функции на бесконечности.()
- •Бмф и их свойства.
- •Свойства бмф.
- •Теорема по индукции распространяется на любое конечное число слагаемых или сомножителей.
- •Ббф. Их связь с бмф.
- •Две важные теоремы
- •Операции с непрерывными функциями.
- •Приращение аргумента и функции в точке, равносильное определение непрерывности.
- •Непрерывность элементарных функций.
- •Два замечательных предела.
- •Сравнение б.М.Ф.
- •Теоремы об эквивалентных б.М.
- •Пусть , , - б.М. При причем , - одного порядка; а тогда .
- •Если , то .
- •Свойства функций непрерывных на отрезке. Непрерывность обратной функции.
- •Теорема 4.
- •Точки разрыва функции. Их классификации.
- •Рассмотрим функцию .
- •Асимптоты графика функции.
- •Определение
- •Определение
- •Теорема
- •Непрерывность дифференцируемой функции
- •Основные правила дифференцирования
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная.
- •Правила дифференцирования обратной функции. Теорема
- •Производные основных элементарных функций.
- •Логарифмическое дифференцирование.
- •Дифференцирование неявной функции.
- •Другие типы неопределенностей.
- •Теорема Тейлора.
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.
- •Локальные формулы Тейлора.
- •Теоремы об возрастании и убывании дифференцируемых функций. Экстремумы.
- •Необходимое условие
- •Теорема 3
- •Если f’(X) при переходе через т. X0 сохраняет постоянный знак, то в некоторой окрестности т. X0 функция или возрастает или убывает и поэтому в т. X0
- •Понятие выпуклости графика функции на промежутке.
- •Производная и дифференциал длины дуги.
Лекции по математическому анализу.
(1 семестр)
Лектор: Шведова И.Г.
Набор: Хомяков Б. (nys_b@rambler.ru), Малышева А., Бордачева Е. (студенты группы Э3-12, факультета Энергомашиностроение Московского Государственного Технического Института им. Н.Э.Баумана.)
2000 г.
ЛЕКЦИЯ № |
Функции
Пусть X, Y – некоторые множества функцией или отображением f множества X в Y называется всякое правило (закон), которое каждому элементу ставит в соответствие определенный y принадлежащий Y.
При этом пишут читается функция f из X в Y или y=f(x), где , . Множество X называют областью определения или областью существования функции f. Множество - областью значения функции f. Произвольный элемент называется независимой переменной или аргументом функции f(x), соответствующее ему по правилу, f элемент называется зависимой переменной или значением функции f на элементе x, или образом элемента x. Другие записи: y=y(x); y=g(x); y=A(x); y=Y(x); S=R2 (площадь круга, как функция его радиуса) x=x(t) (положение точки на числовой оси функции времени).
Если множество Y – числовое множество, то функция называется числовой.
Если , то функция называется вещественной функцией вещественного аргумента. Функция называется постоянной (функцией на X) если все ее значения равны между собой.
Определение:
Функция называется ограниченной на множестве X, если . На плоскости функция изображается в виде графика – множество точек (x;y), прямоугольные декартовые координаты которые связаны соотношением y=f(x), называется уравнением графика.
Существуют 3 основных способа задания функции:
-
аналитический (с помощью 1 или нескольких формул)
-
табличных (с комбинацией табличных значений аргумента и соответствующих значений функции)
-
графический (с помощью графика функции)
-
словесный
Функция Дирихлеа:
Рассмотрим функции и функцию . Функция , определяемая соотношением z=g(f(x)) называют сложной функцией или композицией функции f и g (h=gf), тогда z=h(x).
Пример:
X=Y=Z=R. F(x)=sinx; g(x)=x2, имеем отсюда видно, что (не коммутативна).
Сложную функцию иногда удобно записать в виде цепочки переменных ; переменная y называется промежуточной переменной сложной функции.
Будем говорить, что функция f(x) не убывающая (соответственно не возрастающая) на множестве X, если: соответственно для не возрастающих
Если для
resp - функция возрастающей (resp убывающей).
Две последние функции – строго-монотонные, предыдущие – монотонные.
Рассмотрим функцию причем каждый элемент из Y является образом хотя бы одного элемента из X (тогда говорят, что f есть функция (отображение) из X на Y и пишут: f(X)=Y) (1)
, (2)
т.е. разные элементы из X имеют разные образы в Y.
Из условия (1) и (2) следует, что каждый элемент является образом в точности одного элемента , именно того, для которого , тем самым на множестве Y определена функция: , которая называется обратной для функции f. Каждая из функций устанавливает взаимооднозначное соответствие между элементами из Y и X.
Очевидные соотношения:
Функции f - взаимообратные.
Пример: