Стохастические обязательства
Усложним рассматриваемую модель: в прошлом параграфе мы предполагали сумму долга неизменной. Предположим теперь, что долг т.ж. является стохастическим процессом, удовлетворяющим уравнению Ито: . Напомню, что того же типа уравнения были и для S,V: .
Пусть винеровские процессы коррелируют и имеют матрицу ковариаций
Найдем соотношение для скорости восстановления активов . Используем для этого формулу интегрирования по частям: .
Пусть всюду далее для простоты.
.
Заметим, что (по формуле Ито)
Тогда, , потому что остаются только к-ты при .
Поэтому или вспоминая, что , получаем:
Разделим все на δt (представим хитрым способом)
Перепишем, чтобы обозначить
(7)
Перейдем к риск – нейтральной вероятности. Мы знаем, что в этом случае , . Поэтому (7) преобразуется к виду:
.
Обозначим через , причем
так как
,
то .
Уравнение перепишется в виде, то есть получили обычное дифференциальное уравнение типа Ито. Мы знаем его решение (если σ2, σ3 - константы):
- цена незащищенного опциона со стохастической стоимостью долга.
Ранее мы получили формулу (3) для цены незащищенного опциона, когда долг был детерминирован. Сформулируем без доказательства теорему 2 – аналог теоремы 1, что была выше.
Теорема 2 (о цене опциона кредитного риска со стохастической суммой долга): Если Хt – цена опциона покупателя с номинальной функцией выплаты
ХТ = (ST-E)+ и действительной выплачиваемой суммой ХТ = δt(ST-E)+, где T = VT/DT, причем , то в случае банкротства
где
(см. теорему 1)
Замечание: При δt ≡ 1 получаем частный случай, сформулированный в теореме 1 выше; при Dt, стремящимся к бесконечности, то есть δt стремится к нулю, тогда банкротство произойдет с вероятностью 1, исчезают 2 последних слагаемых формулы (8) и получается обычная формула Блэка – Шоулса.
Ценообразование деривативов дефолтов
(CDS)
Опр.: свопом на дефолт называется дериватив,