- •Линейные волны
- •Волновое уравнение. Бегущие волны
- •Преобразование Фурье.
- •Монохроматическая волна.
- •Характеристики линейных волн.
- •Фазовая скорость линейных волн
- •Дисперсия среды. Групповая скорость линейных волн
- •Явление опрокидывания (укручения) нелинейных волн
- •Преобразование Коула – Хопфа. Ударные волны
- •Асимптотические решения уравнения Бюргерса. Ширина фронта ударной волны
- •Оценки ширины фронта ударной волны. Число Рейнольдса
- •Спектр ударной волны.
- •Солитоны
- •Стационарные волны
- •Солитонные решения волнового уравнения (общие свойства)
- •Солитонное решение уравнения Кортевега - де -Вриза
- •Решение уравнения КдВ (общий вид)
- •Законы сохранения
- •Нелинейные уравнения, обладающие солитонными решениями
- •Нелинейные уравнения, не имеющие решений в виде солитонов.
- •Динамический хаос
- •Нелинейный маятник
- •Характеристики нелинейного маятника.
- •Особенности движения вблизи сепаратрисы
- •Переменные: «Действие» и «угол»
- •Уравнение нелинейного маятника при наличии внешней периодической силы.
- •Перекрытие резонансов. Критерий стохастичности
- •Параметрический резонанс
-
Уравнение нелинейного маятника при наличии внешней периодической силы.
Рассмотрим маятник, на который действует некоторая возмущающая сила, т.е. потенциал , - малый параметр
Уравнение имеет вид: ,
Аналитически можно показать, когда в этом случае будет хаос
При малых амплитудах колебания мятник можно считать линейным .
В этом случае спектр невозмущенного маятника состоит из одной гармоники с частотой . В общем случае из-за нелинейности частота зависит от энергии маятника, соответственно период тоже зависит от энергии, при стремлении, движение частицы, приближается к сепаратрисе, частота с ростом энергии уменьшается.
Если правая часть не равна 0, то накладывается еще волна E2,при этом
Будем рассматривать движение вблизи сепаратрисы.
Тогда полная энергия системы
Где
Энергия частиц . Изменение энергии частиц .
Запишем изменение энергии как работу в 1 секунду:
Вблизи сепарастрисы:
При приближении энергии маятника к сепаратрисе, частота стремиться к 0, а Т>>, где - период колебания линейного маятника.
Тогда , так как .
В результате такого движения частица очень бытро проходит почти всю область пространства и надолго застревает в Седловых точках сепарастрисы.
Такое движение можно рассматривать как движение под действием мгновенных толчков.
Тогда гамильтониан можно записать:
, где V(x)- некоторая функция.
Перейдем к новым переменным:
- частота нелинейных колебаний
=>
Т.к. ,
Тогда
=> Появилась периодическая составляющая.Это значит появилась возможность попадания в резонанс.
-
Перекрытие резонансов. Критерий стохастичности
Все возможные резонансы в системе определяются:
, где m=1,2,3..
В окрестности каждого резонанса можно построить фазовые траектории, при этом резонансным значения «действия» обозначается
Можно ввести фазу вблизи резонанса как:
Построим фазовые траектории для каждого резонанса.
Введем параметр
Если k>>1, тогда частица может одновременно находится в более 2х резонансах. Резонансы перекрываются, это приводит к стохастическому поведению.
=> регулярные траектории исчезают и происходит разрушение сеператрисы.
Параметр нелинейности, ширину сепаратрисы можно определить, если рассмотреть отдельные нелинейные резонансы
//в точке резонанса
Параметрический резонанс
Параметрический резонанс - возбуждение колебаний, наступающее в колебательной системе в результате периодических изменения величины какого-либо из энергоёмких параметров системы (т. е. параметров, от величины которых существенно зависят значения потенциальной и кинетической энергий и периоды собственных колебаний системы). Параметрический резонанс может происходить в любой колебательной системе, как в механической, так и в электрической, например при периодическом изменении длины математического маятника.
Параметрический резонанс наступает в случаях, когда отношение угловой частоты w0 одного из собственных колебаний системы к угловой частоте w изменений параметра (w0 / w) оказывается близким к n/2, где n = 1,2,3,...; тогда в системе могут возбудиться колебания с частотой, близкой к w0 и точно равной w/2, либо w, либо 3w/2 и т.д. Параметрический резонанс наступает легче всего, а возникшие колебания оказываются наиболее интенсивными, когда w0 / w = 1/2.
Классический пример параметрического резонанса в механической системе с распределенными параметрами - возбуждение интенсивных поперечных колебаний в струне, прикрепленной одним концом к ножке камертона (рисунок 1) путём периодического изменения её натяжения. Легче всего параметрический резонанс возникает, когда один из периодов собственных колебаний струны (её основного тона или какого-либо из гармоник) приблизительно вдвое больше периода колебаний камертона. При обычном же возбуждении вынужденных колебаний струны с периодом, равным периоду колебаний камертона, резонанс наступил бы всякий раз, когда период колебаний камертона совпадал бы с периодом одного из собственных колебаний струны. Таким образом, явление параметрического резонанса в этом отношении сходно с силовым резонансом при возбуждении вынужденных колебаний.
Параметрический резонанс от силового резонанса отличается формой резонансной кривой – в случае параметрического возбуждения колебаний резонанс наблюдается в строго ограниченной полосе частот (которая определяется значением n и амплитудой изменения параметра), в то время как при силовом воздействии на систему можно добиться существования колебаний на любой частоте.
Параметрическое возбуждение колебаний струны:
Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса m, коэффициент упругости k и коэффициент затухания β. Если эти коэффициенты зависят от времени, и m = m(t),k = k(t),β = β(t), то уравнение движения имеет вид
Сделаем замену переменной времени t →τ, где dτ = dt / m(t), что приводит уравнение (1) к виду
Сделаем еще одну замену x(τ) → q(τ):
Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:
Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида которое получилось бы из уравнения (1) при m = const.
Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты , аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В случае периодической зависимости ω(t) уравнение (5) является частным случаем уравнения Хилла, а в случае гармонической зависимостиω(t) — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.
-
Рассмотрим случай, когда , то есть уравнение (5) имеет вид
Где ω0 — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты , постоянная — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что h > 0. Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра ε, происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение x(t) неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда
2. Рассмотрим случай, когда , то есть уравнение (5) имеет вид
Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой y = 2ω0tε. В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов h2, происходит в случае, когда
В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид
Где , и . В случае, когда и ограничиваясь первым порядком разложения по h, получим, что
Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний ω = ω0 и её удвоенного значения ω = 2ω0, — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения
Параметрический резонанс имеет место, когда
Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника ω0, а ширина резонанса равна hω0. Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении
Имеет место явление параметрического резонанса не при любых , а лишь при тех . Т.о., при наличии трения
что позволяет надлежащим выводом параметров γ,ω0, и h, в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.