- •Гидравлика (курс лекций) введение
- •1.1 Жидкости и их физические свойства
- •1.2 Модели жидкости
- •1.3 Силы, действующие в жидкости
- •Плотность распределения касательных сил
- •Контрольные вопросы
- •2.1. Гидростатическое давление и его свойство
- •Уравнения равновесия жидкости, заключенной в тетраэдре, в проекциях на оси координат имеют вид
- •2.2. Основное уравнение гидростатики
- •2.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
- •2.4. Решение дифференциальных уравнений равновесия жидкости для ряда частных случаев
- •2.4.1. Равномерное вращение сосуда с жидкостью
- •2.4.2. Прямолинейное движение сосуда с постоянным ускорением
- •После интегрирования получим .
- •2.4.3. Равновесие тела, плавающего на поверхности жидкости
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 3. Кинематика жидкости. Общие положения и определения. Расход. Уравнение расхода. Движение жидкой частицы. Понятие о вихревом и потенциальном движении. Ускорение жидкой частицы
- •3.1. Общие положения и определения
- •3.2. Расход. Уравнение расхода
- •3.3. Движение жидкой частицы. Понятие о вихревом и потенциальном движении
- •Угловая скорость будет
- •Дифференциальные уравнения вихревых линий
- •Тогда согласно (3.13) получим
- •3.4. Ускорение жидкой частицы Ускорение жидкой частицы можно представить в виде
- •Контрольные вопросы
- •3.1 Динамика невязкой жидкости
- •3.2 Уравнение бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
- •По аналогии с этим для элемента 2-2' получим
- •Тогда работа силы тяжести будет
- •Разделим это уравнение на dG и произведя сокращения, можем записать
- •4.2. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости
- •Подставим эти выражения в уравнения вихревой линии
- •4.3. Уравнение бернулли для элементарной струйки невязкого газа
- •Отсюда . Тогда решение интеграла имеет вид:
- •Контрольные вопросы
- •Динамика вязкой жидкости
- •Напряжения в движущейся вязкой жидкости
- •5.2. Уравнение бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости при установившемся движении
- •Т.К. Определитель равен нулю из-за пропорциональности первой и третьей строк (см. Уравнение (4.15)). После интегрирования будем иметь
- •Если из массовых сил действует только сила тяжести, получим
- •5.3. Уравнение бернулли для потока при установившемся движении вязкой жидкости
- •5.3.1. Удельная энергия потока
- •Далее можем записать
- •Расход жидкости через живое сечение потока
- •5.3.2. Уравнение бернулли для потока
- •7.1. Режимы течения жидкости в трубах. Опыты рейнольдса
- •6.4. Ламинарное течение
- •Решая совместно (6.26) и (6.21), получим
- •Сопоставляя (6.27) и (6.28), получим , т.Е. Эпюра угловых скоростей частиц аналогична эпюре касательных напряжений.
- •6.4.2. Начальный участок ламинарного течения
- •6.4.3. Ламинарное течение в зазоре
- •Тогда и формула закона распределения скоростей по живому сечению будет иметь вид
- •Тогда формула (1.18) для данного случая примет вид и после интегрирования будет
- •Тогда закон распределения скоростей имеет вид
- •Б) направление движения стенки противоположно течению жидкости (рис.6.10, б).
- •Если поршень расположен в цилиндре с эксцентриситетом е, то зазор а будет переменной величиной (рис.6.11,б):
- •6.5. Турбулентное течение
- • Ламинарный подслой; 2 переходный слой;
- •3 Турбулентное ядро
- •Контрольные вопросы
- •6.6. Местные гидравлические сопротивления
- •Тогда исходное выражение уравнения Бернулли примет вид
- •Учитывая закон сопротивления при ламинарном течении с поправкой на начальный участок, а также формулу Вейсбаха, выражение можно представить в виде
- •5.4. Общие сведения о гидравлических потерях
- •Контрольные вопросы
- •7.1. Истечение через малое отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре.
- •В данном случае имеем
- •Множитель называется коэффициентом скорости.
- •Из выражения (7.5) коэффициент расхода равен
- •Исходя из этого уравнения, скорость истечения составит
- •7.2. Истечение через насадки при постоянном напоре
- •7.3. Истечение жидкости из резервуара при переменном напоре
- •Основной задачей, решаемой в этом случае, является определение времени опоражнивания резервуара от уровня н1 до н2.
- •Означает, что с уменьшением z объем вытекшей жидкости увели-чивается; dz - изменение уровня в резервуаре за время dt;
- •Отсюда имеем .
- •Контрольные вопросы
2.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
Основное уравнение гидростатики становится неприемлемым в случае, когда кроме силы тяжести действуют и другие массовые силы (сила инерции, центробежная сила и др.).
Рис.2.8.Схема для вывода дифференциальных уравнений
равновесия жидкости
Для получения более общего решения выведем дифференциальные уравнения равновесия жидкости.
В сосуде с неподвижной относительно него жидкостью возьмем произвольный объем жидкости в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz (рис.2.8). Отбросив окружающую параллелепипед жидкость, необходимо заменить ее действие силами. Это будут сжимающие поверхностные силы давления. Кроме поверхностных сил на жидкость в объеме параллелепипеда действуют массовые силы. Равнодействующая массовых сил равна RW, плотность распределения которой R.
Проекции R на оси координат обозначим, соответственно, Rx, Ry и Rz. Пусть от действия поверхностной силы на грань АВСD давление в точке А составит рА. На рис.2.8. оно показано действующим вдоль ребра АЕ. Очевидно, что вдоль ребер АВ и АD действует такое же давление. Это вытекает из свойства гидростатического давления. Вместе с тем, давление р является функцией координат х, у и z.
При переходе от точки А, например, к точке Е, изменяется лишь координата х на бесконечно малую величину dх. В этой связи функция р получает приращение, равное частному дифференциалу . Тогда давление в точке Е составит рА + . Здесь является градиентом давления вблизи точки А в направлении оси х.
Рассматривая давления в других соответствующих точках граней, перпендикулярных к оси х, например, С и Н, видно, что они отличаются на одинаковую (с точностью до бесконечно малых высших порядков) величину
. (2.14)
Тогда уравнение равновесия параллелепипеда в направлении оси х запишется в виде
. (2.15)
В этой формуле dxdydz = W объем параллелепипеда, а dydz = S площадь грани параллелепипеда, нормальная к оси х.
Разделив все члены этого уравнения на массу жидкости параллелепипеда M = dxdydz, получим
. (2.16)
Поступая аналогично в направлении осей ОУ и 0Z, получим окончательно
, (2.17)
Данная система дифференциальных уравнений гидростатики называется уравнениями Эйлера.
На практике удобнее пользоваться вместо системы уравнений (2.17) одним эквивалентным уравнением, не содержащим частных производных.
Для этого умножим первое уравнение на dx, второе на dу, третье на dz и просуммируем все три уравнения
. (2.18)
Выражение в скобках представляет собой полный дифференциал давления, поэтому можем переписать предыдущее уравнение в виде или
. (2.19)
Полученное уравнение выражает приращение давления dр при изменении координат на dх, dу, dz в общем случае относительного покоя жидкости.
Поверхности уровня (поверхности равного давления) из условия dр = 0 при описываются дифференциальным уравнением вида
. (2.20)
2.4. Решение дифференциальных уравнений равновесия жидкости для ряда частных случаев
Покажем возможность получения основного уравнения гидростатики из решения дифференциальных уравнений равновесия жидкости (2.19).
В этом случае на жидкость действует только одна массовая сила сила тяжести. Направив ось Z вертикально вверх, будем иметь , и уравнение (2.19) примет вид
. (2.21)
После интегрирования этого уравнения получим
. (2.22)
Постоянная интегрирования находится после подстановки в это выражение параметров свободной поверхности жидкости z0 и р0 (рис.2.3)
. (2.23)
Отсюда, выражение (2.20) примет вид
, или . (2.24)
Таким образом, получено выражение, идентичное формуле основного уравнения гидростатики в виде (2.8).
Поверхности уровня по формуле (2.19) в этом случае представляются в виде горизонтальных плоскостей. Действительно, в этом случае имеем и , т.е. .
Каждому значению С соответствует плоскость, во всех точках которой давление имеет определенную постоянную величину.
Рассмотрим ряд частных случаев относительного покоя жидкости, которые часто встречаются на практике.