1.6. Нелинейные модели парной регрессии

Во многих практических задачах эконометрического анализа невозможно обойтись применением лишь линейных моделей. Взаимосвязь между переменными х и у нередко носит нелинейный характер и отражается соответственно с помощью нелинейной регрессионной модели (1.1), в которой функция f является нелинейной по своим аргументам. При всем многообразии таких моделей их можно подразделить на три класса.

Первый класс. Модели, нелинейные по переменным, но линейные по параметрам.

Общий вид таких моделей задается уравнением:

, (1.14)

где , .

Типичными примерами таких моделей служат полиномиальная модель некоторой степени:

, (1.15)

гиперболическая модель:

(1.16)

и т. д.

Модели первого класса сводятся к обычной линейной модели введением одной или нескольких новых переменных.

Пример 1.4. Гиперболическая модель (1.16) сводится к линейной модели заменой . В результате получаем модель: .

Для оценки параметров этого уравнения, а также для определения показателей его качества можно применить рассмотренные ранее методы. Единственное, что необходимо предварительно сделать, - это пересчитать исходный массив статистических данных, а именно вместо значений независимой переменной х_i взять значения при i=1,…, n.

Пусть имеются данные о себестоимости единицы продукции и объемах ее производства:

x (объем выпуска, тыс.шт.)	10	12	15	20	25	27	30
y (себестоимость единицы, р.)	32	28	22	20	16	15	10

Предполагая, что зависимость себестоимости от объема определяется гиперболической зависимостью, определить параметры соответствующего уравнения.

Промежуточные результаты оформим в таблицу.

Таблица 1.3.

Расчет параметров нелинейного регрессионного уравнения

i	xi	yi	zi	zi^2	ziyi
1	10	32	0,10000	0,010000	3,20000
2	12	28	0,08333	0,006944	2,33333
3	15	22	0,06667	0,004444	1,46667
4	20	20	0,05660	0,002500	1,00000
5	25	16	0,04000	0,001600	0,64000
6	27	15	0,03704	0,001372	0,55556
7	30	10	0,03333	0,001111	0,33333
Σ	139	143	0,41037	0,027972	9,52890

Отсюда , . Для вычисления оценок параметров воспользуемся формулами (1.5):

;

Если же оценивать параметры с помощью функции ЛИНЕЙН (Microsoft Excel), т.е. практически с неограниченной степенью точности, то получим следующие результаты: и

Таким образом, искомое регрессионное уравнение имеет вид: или .

Полиномиальная модель (1.15) может быть преобразована к линейной модели введением переменных z₁=x, z₂=x², …, z_k=x^k. В результате получается так называемая линейная модель множественной регрессии (переменная y зависит от нескольких переменных z_j). В следующей главе будут рассмотрены вопросы определения параметров такого уравнения и показателей его качества.

Второй класс. Модели, нелинейные по параметрам, но сводящиеся к модели, линейной по параметрам, с помощью некоторого математического преобразования.

Примерами таких моделей могут служить показательная (экспоненциальная) и степенная регрессионные модели, в которые случайная компонента ε входит в качестве сомножителя (или, как говорят, мультипликативным образом):

, (1.17)

(1.18)

Обе модели сводятся к модели, линейной по параметрам, путем логарифмирования. Покажем это на примере показательной модели (1.17). Имеем:

.

Используя свойства логарифма, выполним преобразования:

Полученная модель уже является линейной по параметрам. Вводя новые переменные и обозначения: u=ln(у), ε^*=ln(ε), ₁^*=ln(₁), ₀^*=ln(₀), получим

(1.19)

Рассчитав значения переменной u по заданным наблюдениям y_i переменной у, можно оценить параметры уравнения (1.19) с помощью известных методов. По найденным оценкам легко определить и параметры исходного нелинейного уравнения (1.17).

Важно отметить, что применение МНК для оценки параметров уравнения (1.19) предполагает выполнение требований классической линейной модели (см. параграф 1.2). Проверка статистической значимости параметров и регрессии в целом на основе t- и F-статистик имеет смысл только в том случае, если компонента , т.е ln(ε), распределена нормально.

Третий класс. Собственно нелинейные модели, т.е. модели, которые нельзя свести к модели, линейной по параметрам.

Например, это – та же показательная модель, но в которую случайная компонента ε входит аддитивным образом, т.е. в качестве слагаемого:

(1.20)

Для оценивания параметров таких моделей используется так называемый нелинейный метод наименьших квадратов, основанный на непосредственном решении задачи оптимизации

теми или иными численными методами.

В данном учебном пособии этот метод не рассматривается.