- •Билет № 1
- •1°. Пример
- •2°. Определения.
- •3 °. Геометрический смысл ду.
- •4°. Задача Коши.
- •1°. Уравнение в полных дифференциалах.
- •2°. Принцип сжатых отображений.
- •3°. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1-го порядка.
- •3°. Связь нормальных систем с общими дифференциальными уравнениями (оду) n-го порядка.
- •5°. Нормальная линейная система (нлс).
- •1°. Линейная однородная система (лос).
- •2°. Фундаментальная система решений (фср).
- •Фундаментальная матрица однородной системы и её свойства. Определитель Вронского.
- •3°. Определитель Вронского (Вронскиниан).
- •5°. Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка.
- •Свойства уравнения :
- •4°. Линейные неоднородные уравнения - го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.
- •5°. Лос с постоянными коэффициентами.
- •5°. Лос с постоянными коэффициентами.
- •1°. Теорема о непрерывной зависимости решений от реальных условий.
- •2°. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость.
- •3°. Теорема Ляпунова.
- •4°. Классификация точек покоя линейных систем 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Билет № 1
1°. Пример
, ( - ускорение)
(если подобрать )
,
(множество решений)
(положение груза при )
(положение груза в начале колебаний)
2°. Определения.
Опред.: Обыкновенным дифференциальным уравнением -ного порядка называется уравнение , где - независимая переменная, - искомая функция от , - заданная функция от переменных.
Опред.: Функция называется решением дифференциального уравнения на интервале , если при подстановке в это уравнение она обращает его в тождество по , на интервале .
, - дифференциальное уравнение 1-го порядка.
- решение ДУ интеграл ДУ
Опред.: Интегральная кривая ДУ - график любого решения ДУ.
Опред.: Интегрирование в квадратурах - выражение решения дифференциального уравнения с помощью элементарных функций и интегралов от них.
,
(неявная функция, решение ДУ)
Опред.: Интегральная кривая – полуокр. (верхняя или нижняя)
(общий интеграл ДУ)
3 °. Геометрический смысл ду.
(это ДУ, разрешенное относительно производной)
- определена в области .
В каждой точке области мы знаем касательную к решению.
Опред.: Совокупность линий называют полем направлений, соответствующим дифференциальному уравнению.
С геометрической точки зрения нахождение решений ДУ- есть нахождение всех кривых, касательные в каждой точке к которым совпадают с соответствующими прямыми поля направлений.
4°. Задача Коши.
Опред.: Задачей Коши для уравнения наз. задача нахождения решения этого уравнения, удовлетворяющего условию: , (н. у.).
Билет № 2
1°. Уравнение в полных дифференциалах.
Опред.: Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида , левая часть которого - полный дифференциал от некоторой функции
Теорема: Всякое решение уравнения в полных дифференциалах удовлетворяет уравнению для некоторого .
Доказательство: Пусть - решение, - решение
. Теорема доказана.
Теорема:
Пусть функции непрерывны в . Тогда для того, чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно условие .
Доказательство:
Необходимость.
Достаточность.
,
2°. Уравнения с разделяющимися переменными.
Опред.: Уравнение вида , где - непрерывна на , непрерывна на , называется уравнением с разделяющимися переменными.
|
|
6°. Интегрирующий множитель.
, ,
Если является уравнением в полных дифференциалах, то называется интегрирующим множителем.
Пример: , ,
Билет № 3
3°. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Опред.: Если функция , то уравнение называется линейным однородным.
Лемма:
Доказательство:
. .
. - два частных решения.
Метод вариации постоянных.
4°. Уравнение Бернулли.
, где
,
Если , то нужно смотреть, не потеряно ли решение .
5°. «Однородные» уравнения.
Опред.: Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным, если его можно привести к виду:
=> => =>
Билет № 4
1°. Метрическое пространство.
Опред.: Метрическое пространство - это множество , любой паре элементов которого поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое расстоянием между ними и удовлетворяющее следующим аксиомам:
1.
2.
3.
Пример:
Опред.: называется пределом последовательности , если при
Опред.: Последовательность называется фундаментальной, если
Опред.: Метрическое пространство называется полным, если в нём всякая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства.
Пример:
Теорема:
- полное метрическое пространство
Доказательство:
- фундаментальная последовательность
Фиксируем - числовая, причём справедливо неравенство - фундаментальная
,
- сходится равномерно на