- •1.Понятие арифметического вектора. Координаты вектора. Операции над векторами и их свойства.
- •2. Линейные векторные пространства.
- •3. Скалярное произведение и его свойства. Евклидовы векторные пространства.
- •4. Системы векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
- •5. Критерий линейной зависимости векторов. Следствия.
- •6. Теорема о линейной независимости диагональной системы.
- •7. Базис системы векторов. Теорема о разложении вектора по базису.
- •8. Базис линейного векторного пространства. Ортогональный и ортонормированный базис. Теорема о разложении вектора по базису.
- •9. Матрицы. Виды матриц.
- •10. Операции над матрицами. Свойства операций над матрицами
- •11. Определители. Свойства определителей.
- •12. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы.
- •13. Теорема Лапласа.
- •15. Понятие элементарного преобразования. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •17. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы.
- •18. Присоединенная матрица. Теорема о присоединенной матрице. Методы вычисления обратной матрицы.
- •19. Системы линейных уравнений. Различные формы записи слу. Решение слу. Совместность и несовместность системы. Определенность и неопределенность слу. Эквивалентные системы линейных уравнений.
- •20. Исследование систем линейных уравнений. Критерий совместности слу. Критерий определенности слу. Критерий неопределенности слу.
- •21. Решение слу в общем случае. Базисные и свободные неизвестные. Общее решение слу.
- •22. Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными методом Крамера. Понятия определителя системы и вспомогательного определителя.
- •23. Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными методом обратной матрицы. Схема решения слу методом обратной матрицы.
- •24. Решение систем m линейных уравнений c n неизвестными методом Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Прямой и обратный ходы метода Гаусса.
- •25. Решение систем m линейных уравнений c n неизвестными методом замещения. Суть метода замещения.
- •26. Однородные системы линейных уравнений. Критерий наличия ненулевого решения ослу Следствия теоремы.
- •27. Решение ослу. Свойства решений ослу. Фундаментальная система решений. Правило нахождения фср ослу.
- •28. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений через соответствующую ей систему однородных уравнений.
- •33. Сопряженные и самосопряженные операторы.
- •40. Понятие вектора. Координаты вектора. Модуль вектора. Направляющие косинусы.
- •50. Понятие гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Эксцентриситет гиперболы. Расстояние от точки гиперболы до фокусов. Уравнение асимптот гиперболы.
- •51. Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат. Фокальный радиус
1.Понятие арифметического вектора. Координаты вектора. Операции над векторами и их свойства.
Энмерным (N-мерным) арифметическим вектором называется упорядоченный набор действительных чисел, которые характеризуются компонентами (координатами) вектора. Вектор называется нулевым вектором, если все его координаты равны нулю. (0 с черточкой) Вектор называется единичным («е» с черточкой) если его итая координата равна единице а все остальные координаты равны нулю. Е (0;0;…1;0;…0) Операции над векторами: Сложение Умножение вектора на число (на скаляр): Пусть задан N-мерный вектор а (а1..а2…аN) и число «альфа». Произведением вектора «а» на число «альфа» называется вектор С= «альфа» * «вектор а» для всех координат которого справедливо равенство С ай = альфа * а ай и «перевернутая заглавная А ай = 1,n все под чертой Свойства операций сложения и умножения на число: (далее «а» «б» - вектор «А» «Б» - альфа и бета) о –нулевой вектор 1) а+б=б+а (коммутативное сложение) 2) (а+б)+с=а+(б+с) (дистрибутивность) 3) А(а+б)=(Аа)+(Аб) 4) (А+Б)а=Аа+Ба 5) А(Ба)=(АБ)а 6) а+о(нулевой вектор с черточкой не забывай) 7) Для каждого вектора а существует такой вектор, что а+(-а)=о Вектор –а называется противоположным вектором. 8) 1а=а
2. Линейные векторные пространства.
Линейным векторным пространством называется множество N-мерных векторов вместе с заданными операциями сложения и умножения на число удовлетворяющих свойствам 1-8. Обозначается Rn n- количество координат в каждом векторе.
3. Скалярное произведение и его свойства. Евклидовы векторные пространства.
Скалярным произведением двух N-мерных векторов называется число равное сумме произведений соответствующих координат данных векторов. а(а1;а2;…аN) б(б1;б2;…бN) (а*б)=(а1*б1)+(а2*б2)+аN*бN а(3;2;0;1) б(4;-5;2;1) (а*б)=(3*4)+(2*-5)+(0*2)+(1*1)=3
N-мерной линейное пространство называется Евклидовым и обозначается Еn если в нем кроме операций сложения и умножения на число введена операция скалярного произведения, удовлетворяющая свойствам 1) (аб)=(ба) 2) А(аб)=(Аа)б или а(Аб) 3) (Аа)*(Бб)=(АБ)*(аб) 4) (оа)=0
4. Системы векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
Линейная зависимость (независимость) векторов Пусть задана система векторов а1…а2…ак Линейной комбинацией векторов данной системы называется сумма А1а1+А2а2+Акак где А1…А2…Ак – некоторые числа.
Линейная комбинация называется выпуклой, если скаляры (числа) участвовавшие в ней обладают свойством 0<A1<1
Система векторов а1…а2…ак называется линейно зависимой если существуют такие числа А1…А2…Ак хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие что А1а1+А2а2+Акак=0 3а+аб-4с=0 – линейно зависимая
Система векторов а1…а2…ак называется линейно независимой если линйная комбинация составленная из векторов данной системы равна нулю только в том случае когда все скаляры этой комбинации одновременно равны нулю. А1а1+А2а2+Акак=0 => А1=А2=…Ак=0 а1…а2…ак – линейно зависимая
5. Критерий линейной зависимости векторов. Следствия.
Теорема: система векторов а1…а2…ак является линейно зависимой тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор данной системы линейно выражается (представим в виде линейной комбинации) через остальные векторы данной системы. Эта теорема называется «критерием линейной независимости»
Следствие 1 Если система векторов а1…а2…ак содержит о, то она является линейно зависимой. Следствие 2 Если некоторая система векторов линейно зависима, то и вся система также линейно зависима.