- •Тема III. Системы дифференциальных уравнений. §1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений сведением к одному уравнению более высокого порядка.
- •§2. Системы линейных дифференциальных уравнений.
- •§3. Устойчивость по Ляпунову. Классификация точек покоя.
- •§4.Исследование системы на устойчивость по первому приближению.
Тема III. Системы дифференциальных уравнений. §1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений сведением к одному уравнению более высокого порядка.
Пусть дана система дифференциальных уравнений
(1.1)
Решением системы (1.1) называется n-мерная вектор-функция , при подстановке компонент которой в (1.1) получается n тождеств.
Одним из самых распространённых методов решения системы (1.1) является метод сведения её к одному уравнению более высокого порядка. Заключается он в следующем: из уравнений системы (1.1) и уравнений, получающихся дифференцированием уравнений, входящих в (1.1), исключают все неизвестные компоненты вектор-функции, кроме одной, для нахождения которой получают тем самым одно дифференциальное уравнение более высокого порядка. Путём интегрирования полученного уравнения находят одну из компонент искомого решения системы. Затем, используя уравнения системы (1.1) и уравнения, полученные при поиске одной компоненты, находят остальные компоненты решения.
Пример 1. Проинтегрировать сведением к одному уравнению систему
(1.2)
Решение. Дифференцируем второе уравнение:
. (1.3)
Подставляем из первого уравнения системы (1.2) в (1.3):
,
или
. (1.4)
Из второго уравнения системы (1.2) находим x
(1.5)
и, подставляя его в уравнение (1.4), получаем
или
. (1.6)
Уравнение (1.6) является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянным коэффициентами. Соответствующее ему характеристическое уравнение:
Следовательно, решение этого однородного уравнения имеет вид:
Тогда
Итак,
Мы опускаем строгое обоснование метода сведения системы дифференциальных уравнений к одному уравнению.
§2. Системы линейных дифференциальных уравнений.
Система дифференциальных уравнений называется линейной, если уравнения системы линейны относительно всех компонент неизвестной вектор-функции и их производных, т.е. имеют вид:
(2.1)
Обозначаем
, , ,
Тогда систему (2.1) можно переписать в виде
(2.2)
Если в системе (2.2) , то система (2.2) называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений.
Приводим без доказательства следующее утверждение.
Теорема (о структуре общего решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений).
Пусть дана система линейных однородных дифференциальных уравнений
, (2.3)
где функции непрерывны на , и пусть - линейно независимые на решения системы (2.3). Тогда общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (2.3) имеет вид:
где – произвольные постоянные.
Любые n линейно неизвестных частных решений системы (2.3) называются её фундаментальной системой решений.
Пусть дана система
, (2.4)
где - действительные числа.
Так как постоянные непрерывны на любом отрезке , то применима сформулированная выше теорема.
Частные решения системы (2.4) составляющие фундаментальную систему решений, ищем в виде
(2.5)
Подставляем (2.5) в уравнение (2.4):
или
(2.6)
Система (2.6) – система n линейных алгебраических однородных уравнений относительно . Она имеет нетривиальные решения, если
(2.7)
Уравнение (2.7) называется характеристическим уравнением для системы (2.4), а его корни – характеристическими корнями системы (2.4).
Случай 1. Характеристические корни уравнения (2.7) действительны и различны, их ровно n штук. Пусть это числа . Подставляя в (2.6) находим соответствующие Фундаментальную систему решений составляет вектор-функция (доказательство линейной независимости опускаем). Тогда по приведённой теореме общее решение системы уравнений (2.4) имеет вид:
Пример 2. Решить систему уравнений
(2.8)
Решение. Записываем соответствующее характеристическое уравнение:
или
Частные решения ищем в виде
и
Подставляем в систему (2.8):
Пусть , тогда .
Аналогично находим
Пусть , тогда .
Итак, общее решение системы (2.8):
Случай 2. Среди характеристик корней уравнения (2.7) есть комплексные. Пусть комплексно-сопряжённые числа и являются корнями характеристического уравнения (2.7). В этом случае вместо комплекснозначных вектор-функций и в фундаментальную систему решений включаем функции и (тот факт, что - решения и линейно независимы, принимаем без доказательства).
Тогда по теореме общее решение системы уравнений (2.4) имеет вид:
Пример 3. Решить систему уравнений
(2.9)
Решение. Записываем соответствующее характеристическое уравнение:
или
.
Частные решения ищем в виде
Подставляем в систему (2.8):
.
Пусть , тогда – частное решение (2.9).
Значит , . Имеем:
Таким образом, общее решение системы (2.9):
Случай 3. Среди характеристических корней уравнения (2.7) есть кратные. Пусть характеристический корень имеет кратность r. Частные решения, входящие в фундаментальную систему решений и соответствующие корню , ищем в виде:
Тогда общее решение системы уравнений (2.4) будет иметь вид:
Пример 4. Решить систему уравнений
(2.10)
Решение. Записываем соответствующее характеристическое уравнение:
или
.
Решение системы (2.10) ищем в виде:
(2.11)
Подставляем (2.11) в систему (2.10):
или
Отсюда
тогда
Итак, общее решение системы (2.10):
Описанный метод нахождения решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений (2.4) называется методом собственных векторов.