![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ –
ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ
О.В. Панневиц, А.С. Рыбакин
Математический анализ
(примеры и задачи)
Учебно-методическое пособие
Санкт-Петербург
2010 г
Панневиц О.В., Рыбакин А.С.
Математический анализ (примеры и задачи). Учебно-методическое пособие. – Издательство «», 2010. – 101 с.
Пособие соответствует программе дисциплины «Математический анализ» экономических специальностей. Весь материал разбит на практические занятия по отдельным темам. При этом каждое занятие состоит из четырех пунктов:
1 – повторение основных определений, теорем и рабочих формул по теме занятия;
2 – примеры с решениями различных типов задач и примеров;
3 – набор задач и примеров, которые рекомендуется решить (как правило, самостоятельно в аудитории);
4 – набор задач и примеров для самостоятельного решения (домашнее задание).
Такая структура позволяет наиболее эффективно использовать время занятия как студентам, так и преподавателю.
Кроме того, студент может самостоятельно отработать указанную тему (при необходимости).
Для студентов и слушателей программ высшего профессионального образования.
Рекомендовано к печати Учебно-методическим советом СПб филиала ГУ-ВШЭ в качестве учебного пособия.
Оглавление
Практическое занятие №1. Функции…………………………………………………………………….4
Практическое занятие №2.Множества. Операции над множествами………………………………..12
Практическое занятие №3.Предел функции…………………………………………………………...22
Практическое занятие №4.Предел функции (продолжение)………………………………………….25
Практическое занятие №5.Непрерывность функции. Классификация точек разрыва……………...27
Практическое занятие №6.Производные……………………………………………………………....30
Практическое занятие №7.Дифференцирование функций……………………………………………33
Практическое занятие №8.Правило Лопиталя. Касательная и нормаль к плоской кривой………...37
Практическое занятие №9.Монотонность и экстремумы функций…………………………………..40
Практическое занятие №10.Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой. Построение кривой по ее уравнению в явном виде…………………………………………………...43
Практическое занятие №11.Непосредственное интегрирование…………………………………….47
Практическое занятие №12.Метод замены переменной (подстановки)……………………………..48
Практическое занятие №13.Интегрирование по частям………………………………………………50
Практическое занятие №14.Интегрирование рациональных функций………………………………52
Практическое занятие №15.Интегрирование тригонометрических функций, рациональных относительно синуса и косинуса………………………………………………………………………..57
Практическое занятие №16.Определенный интеграл…………………………………………………61
Практическое занятие №17.Определенный интеграл (продолжение)………………………………..64
Практическое занятие №18.Несобственные интегралы……………………………………………….67
Практическое занятие №19.Положительные ряды…………………………………………………….68
Практическое занятие №20.Знакочередующиеся ряды. Знакопеременные ряды (общий случай)…72
Практическое занятие №21.Степенные ряды…………………………………………………………..74
Практическое занятие №22.Ряды Тейлора и Маклорена………………………………………………77
Практическое занятие №23.Ряды Фурье………………………………………………………………..81
Практическое занятие №24.Ряды Фурье (продолжение)………………………………………………86
Практическое занятие №25.Функции нескольких переменных…………………………………….…89
Практическое занятие №26.Функции нескольких переменных (продолжение)……………………..92
Практическое занятие №27.Скалярное поле……………………………………………………………95
Практическое занятие №28.Градиент скалярного поля…………………………………………….….99
Практическое занятие №29.Экстремумы функции нескольких переменных…………………….…101
Практическое занятие №30.Двойной интеграл………………………………………………………..103
Литература……………………………………………………………………………………………….106
Практическое занятие №1.
Функции.
Контрольные вопросы.
1. Дайте определение числовой функции.
2. Что называют областью определения функции и множеством значений?
3. Какие способы задания функции вы знаете?
4. Дайте определение четной, нечетной функции и функции общего вида.
5. Перечислите основные элементарные функции.
Примеры с решениями:
Найти область определения функций:
;
- + -
-1 2
;
;
Найти множество Y, на которое данная функция отображает множество X:
- функция, возрастающая на всей области определения
.
- функция убывает до
, затем возрастает, поэтому считаем значение в трех точках
- функция, возрастающая на всей области определения
;
- функция, убывающая на всей области определения
- функция убывает на заданной области
Определить, является функция четной, нечетной или функцией общего вида:
- четная;
- общего вида;
- нечетная.
4) Построить графики следующих элементарных функций:
- линейная функция
-3
-3
- квадратичная функция, графиком является парабола
2
-1
- дробно-линейная функция, графиком является гипербола
-1
-1/2
- логарифмическая функция
-3
- показательная функция
-1
Примеры для практических занятий:
Найти область определения функции:
;
;
;
.
Найти множество Y, на которое данная функция отображает множество X:
;
.
Определить, является функция четной, нечетной или функцией общего вида:
Построить графики следующих функций:
;
;
;
Ответы:
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
1. Четная; 2. Нечетная; 3. Четная; 4. Общего вида.
1
.
4
-2
2
.
-3
3
.
3
1 2
4
.
2
3
5
.
-2
Примеры для самостоятельного решения:
Найти область определения функции:
Найти множество Y, на которое данная функция отображает множество X:
Определить, является функция четной, нечетной или функцией общего вида:
Построить графики следующих функций:
Ответы:
1. 2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
1. Четная; 2. Нечетная; 3. Четная; 4. Функция общего вида.
1
.
2
2.
2
-3
3.
-2
4 .
-4
5.
4
Практическое занятие №2.
Множества. Операции над множествами.
Контрольные вопросы.
Что понимают под множеством?
Дайте определение подмножества.
Перечислите основные способы задания множеств.
Какое множество называют счетным?
Перечислите основные операции над множествами.
Примеры с решениями:
Заданы два множества
и
.
Найти
,
,
,
.
Заданы два множества
и
И
зобразить
на плоскости
2
-2
-3
Заданы два множества
и
Изобразить на
плоскости
.
2
1
Заданы три множества
,
и
.
Изобразить на плоскости
.
4
1
-2 2
-1
-2
-3
Заданы три множества
,
и
.Изобразить
на плоскости
.
1
1
2
Заданы три множества
,
и
.
Изобразить на плоскости
.
5
1 2 3
-1
-1
1
-1
Заданы три множества
,
и
.Изобразить
на плоскости
.
-2
-2
1
-1 1
-1
Примеры для практических занятий:
,
;
Изобразить на плоскости:
Ответы:
8)
9 )
2
1 0)
11)
1 2)
1 3)
1
4)
Примеры для самостоятельного решения:
Изобразить на плоскости:
Ответы:
1
5)
-2
1
6)
17)
18)
1
9)
20)
Практическое занятие №3.
Предел функции.
Контрольные вопросы.
Что называют пределом функции?
Что называют односторонним пределом?
Перечислите типы неопределенностей.
Примеры с решениями:
1. Неопределенность
типа
решаем разбиением на множители
;
;
;
;
или домножением на сопряженное
;
;
;
2. При следующем
типе неопределенности
возможны два способа решения.
Первый способ (выносим за скобку наиболее быстро растущую степень):
;
Второй способ (оставляем наибольшую степень):
;
3. При неопределенности
типа
приводим к общему знаменателю
;
;
или домножаем на сопряженное
;
.
Примеры для практических занятий:
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
;
26)
;
27)
;
28)
;
29)
;
30)
;
31)
;
32)
;
33)
;
34)
;
35)
.
Ответы:
0; 15) 0,7; 16)
; 17)
; 18)
; 19) 6; 20) 0; 21)
; 22)
; 23)
; 24)
;
25)
;
26) 0; 27) –2; 28) 1,5; 29) 0; 30)
;
31) 0,4; 32) 0; 33) 0,25; 34) 2; 35)
.
Примеры для самостоятельного решения:
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
49)
50)
51)
52)
53)
Ответы:
36) 2; 37) 0; 38) 2/3; 39)
6/7; 40) –5/3; 41) 1/6; 42) ½; 43) –2; 44)
45)
46) 2/5; 47)
48) ½; 49) –1/2; 50) –1/2; 51) –2,5; 52) 0; 53) 2.
Практическое занятие №4.
Предел функции (продолжение).
Контрольные вопросы.
Первый и второй замечательные пределы.
Что такое бесконечно малое?
Таблица эквивалентных.
Примеры с решениями:
В этих пределах необходимо применять таблицу эквивалентных:
;
;
;
;
;
;
При следующем типе неопределенности возможны два способа решения.
Первый способ (применение второго замечательно предела):
;
Второй способ
(логарифмирование -
):
;
;
;
Примеры для практических занятий:
; 12)
; 13)
; 14)
;
; 16)
; 17)
; 18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
;
26)
;
27)
;
28)
.
Ответы:
11)
;
12)
;
13) 3; 14) 0,25; 15) 3; 16) 18; 17) 2,5; 18) 3; 19) –2; 20)
3; 21)
;
0; 23)
; 24) ; 25) 1; 26) ; 27) 1; 28)
.
Примеры для самостоятельного решения:
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
Ответы:
29) 1/2; 30) 5/4; 31) ½; 32)
–1; 33)
;
34) –3/5; 35) -
;
36) 2/3; 37) 1/12; 38)
; 39)
;
40)
;
41)
;
42)
;
43) 1; 44)
;
45)
;
46)
;
47) 1; 48)
Практическое занятие №5.
Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.
Контрольные вопросы.
Какую функцию называют непрерывной?
Какую точку называют точкой устранимого разрыва?
Дайте определение точек разрыва первого и второго рода.
Примеры с решениями:
При каком значении параметра а, функция будет непрерывной:
чтобы функция была непрерывной, необходимо совпадение значений в точке x=1.
или
,
тогда
- любое число;
теперь два неизвестных параметра у функции, но и две точки 0 и 2 для расчета параметров
или
,
то есть В=0
или
,
т.е. 4А=1, А=1/4;
Найти точки разрыва и исследовать их характер:
- функция не определена в точках и
.
Вычислим односторонние пределы:
-
оба предела бесконечны, следовательно,
в точке 0 разрыв второго рода;
- оба предела
бесконечны, следовательно, в точке 1
разрыв второго рода.
точка ;
- пределы существуют,
но не равны, следовательно, функция
имеет в точке 0 разрыв первого рода.
точка ;
- пределы существуют,
но не равны, следовательно, функция
имеет в точке 0 разрыв первого рода.
4.
на
- функция непрерывна, на
-
функция разрывна в точке
.
- разрыв второго
рода;
- разрыв второго
рода;
-разрыв
второго рода.
Примеры для практических занятий:
4.
5.
5.
Ответы:
4. а=3; 5. А=В=1.
5. X=3 – разрыв первого рода; 6. X=2 – разрыв первого рода; 7. X=0 – разрыв второго рода ;
8. x=0
– разрыв первого рода; 9.
-
разрыв первого рода.
Примеры для самостоятельного решения:
1) 6.
7.
2)10.
11.
12.
13.
Ответы:
6. А=1/2,В=-1; 7. А=1/2,В=0,С=1/4,D=-1/2.
10. X=4 – разрыв первого рода; 11. X=3 – разрыв второго рода; 12. X=0 и x=2 – разрыв первого рода; 13. X=0 – разрыв первого рода.
Практическое занятие №6.
Производные.
Контрольные вопросы:
Сформулируйте определение производной. Укажите ее геометрический смысл.
Что характеризует производная в процессе изменения функции?
Какую функцию называют сложной?
Что такое промежуточный и основной аргументы?
Как находится производная сложной функции?
Примеры с решениями:
Найти производные функции:
;
;
;
;
Найти производные сложной функции:
- это сложная функция, которую можно представить в виде «цепочки» простых функций:
,
тогда
,
;
;
;
;
;
;
;
Примеры для практических занятий:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Ответы:
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
; 22)
; 23)
; 24)
.
Примеры для самостоятельного решения:
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
Ответы:
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
Практическое занятие №7.
Дифференцирование функций.
Контрольные вопросы.
Какой способ задания функции называется параметрическим?
Как найти производную от функции, заданной параметрически?
В чем состоит правило логарифмического дифференцирования?
Дайте определение дифференциала функции и укажите его геометрический смысл.
Дайте определение производных и дифференциалов высших порядков.
Примеры с решениями:
Найти производную
функций, заданных параметрически:
1.
Находим
Тогда
2.
при t=1.
Находим
Тогда
3.
в точке М(0,0).
Сначала определяем значение t в точке М(0,0):
откуда следует, что производная в этой точке должна иметь два значения (кривая пересекается сама с собой).
Находим
Для данной точки
имеем
Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:
Находим
для нахождения
производной
обозначим
Окончательно
Найти дифференциалы функций:
7.
Найти производные и дифференциалы трех первых порядков функции
Находим
Следовательно,
Примеры для практических занятий:
Найти производную функций, заданных параметрически:
9.
10.
при
11.
в точке
Продифференцировать функцию, используя правило логарифмического дифференцирования:
12.
13.
14.
15.
Найти дифференциалы функций:
16.
17.
Найти дифференциалы третьего порядка функций:
18.
19.
Ответы:
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Примеры для самостоятельного решения:
Найти производную функций, заданных параметрически:
20.
21.
в точке
22.
Продифференцировать функции, используя правило логарифмического дифференцирования:
23.
24.
25.
Найти дифференциалы функций:
26.
27.
28.
Найти дифференциалы второго порядка функций:
29.
30.
Ответы:
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Практическое занятие №8.
Правило Лопиталя. Касательная и нормаль к плоской кривой.
Контрольные вопросы.
Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида
Можно ли применять правило Лопиталя к раскрытию неопределенностей вида
Если можно, то как?
Дайте определение касательной и нормали к плоской кривой и запишите их уравнения.
Примеры с решениями:
Найти указанные пределы по правилу Лопиталя:
Обозначим
Тогда
Составить уравнения касательной и нормали к гиперболе
в точке с абсциссой
Решение:
Находим
Определяем угловой
коэффициент касательной
Уравнение касательной:
Уравнение нормали:
Примеры для практических занятий:
Вычислить указанные пределы по правилу Лопиталя:
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Составить уравнения касательной и нормали к кривым в указанных точках.
25.
в точке А(-2,5);
26.
в точках пересечения с прямой y=1.
Ответы:
8. 1; 9.
10. –2; 11.
12. 1; 13.
14.
15.
16. –1; 17. 0; 18. 1;
19. е; 20.
21. –2; 22.
23.
24.
25.
26.
Примеры для самостоятельного решения:
Вычислить указанные пределы по правилу Лопиталя:
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
Написать уравнения
касательной и нормали к графику функций
в заданной точке:
41.
42.
43. На линии
найти точку М, в которой касательная
параллельна прямой
Ответы:
27. 0; 28.
29.
30.
31. 1; 32. 1; 33. 0; 34.
35.
36.
37. 1; 38.
39.
40. 2; 41.
42.
43.
при
Практическое занятие №9.
Монотонность и экстремумы функций.
Контрольные вопросы.
1. Сформулируйте необходимое и достаточное условия монотонности функции на промежутке.
2. Дайте определение экстремума функции.
3.Сформулируйте необходимое условие экстремума. Дайте его геометрическую иллюстрацию.
Сформулируйте достаточное условие экстремума функции с помощью первой производной.
Сформулируйте достаточное условие экстремума функции с помощью второй производной.
Критические точки какого типа можно исследовать на экстремум с помощью второй производной?
Как находятся наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной в замкнутом промежутке?
Примеры с решениями:
Найти промежутки монотонности и экстремумы функции
Решение: Эта
функция определена только при
Находим точки, «подозрительные» на экстремум:
но экстремума в
точках
быть не может, так как они являются
концами области определения, а экстремум
возможен только во внутренних точках
области определения функции.
Находим промежутки монотонности и экстремумы:
X |
-1,1 |
-1 |
0 |
1 |
1,1 |
|
- |
0 |
+ |
0 |
- |
|
|
|
|
|
|
Функция убывает
при
Функция возрастает
при
Замечание 1. Так
как
и
являются стационарными, то исследование
на экстремум можно провести с помощью
второй производной.
Находим
Замечание 2. Так
как функция непрерывна на замкнутом
промежутке
,
то можно найти наименьшее и наибольшее
значения функции в этом промежутке. Для
этого вычисляем ее значения в точках,
подозрительных на экстремум
и
,
а также на концах промежутка
и
и находим
Примеры для практических занятий:
Найти промежутки монотонности и экстремумы функций:
3.
4.
5.
Найти наибольшее М и наименьшее m значения функций на замкнутом промежутке:
7.
8.
9.
Ответы:
2. возрастает при
убывает при
возрастает при
убывает при
возрастает при
убывает при
возрастает при
убывает при
Примеры для самостоятельного решения:
Найти промежутки монотонности и экстремумы функций:
11.
12.
13.
14.
15.
Найти наибольшее М и наименьшее m значения функции на замкнутом промежутке:
16.
17.
18.
Ответы:
10.убывает при
возрастает при
убывает при возрастает при
убывает при
возрастает при
убывает при
возрастает при
убывает при
возрастает при
убывает при
возрастает при
Практическое занятие №10.
Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой. Построение кривой по ее уравнению в явном виде.
Контрольные вопросы.
Что такое «выпуклость» и «вогнутость» кривой?
Что такое точка перегиба кривой?
Что является необходимым, а что достаточным условием существования перегиба в данной точке?
Дайте определение вертикальной и наклонной асимптоты кривой.
Как определяются параметры наклонной асимптоты кривой?
Изложите общую схему исследования функции
Примеры с решениями:
Определить точки перегиба и характер вогнутости кривой
Решение:
Находим
- критические точки
на перегиб.
x |
-2 |
|
-1 |
0 |
1 |
|
2 |
|
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Точка Перегиба |
|
точка перегиба |
|
точка перегиба |
|
Ответ:
- точки перегиба;
при
- вогнутость вниз,
при
- вогнутость вверх.
Определить асимптоты кривой
Решение:
-
вертикальная асимптота, так как
Находим наклонную асимптоту:
- наклонная
асимптота.
Провести полное исследование функции
и построить эскиз графика.
Решение:
- критические точки
на экстремум.
x |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
-1/2 |
0 |
1 |
|
+ |
0 |
- |
точка |
+ |
0 |
+ |
|
|
|
|
разрыва |
|
Экстремума нет |
|
- критическая точка
на перегиб
X |
-1/2 |
0 |
1 |
|
- |
0 |
+ |
Y |
|
0 |
|
О(0,0) – точка перегиба.
Определяем асимптоты кривой:
- наклонная
асимптота.
- вертикальная
асимптота, так как
.
Строим эскиз графика кривой:
y
-1 2 x
-1
Примеры для практических занятий:
Определить точки перегиба и характер вогнутости (выпуклости) кривых:
5.
6.
Определить асимптоты кривых:
8.
9.
Провести полное исследование и построить эскизы графиков функций:
11.
12.
Ответы:
4.
- кривая выпукла,
-
кривая вогнута, точек перегиба нет;
- промежутки вогнутости,
- промежутки
выпуклости,
- точки перегиба;
- промежуток выпуклости,
- промежуток вогнутости,
- точка перегиба;
- точка перегиба;
- асимптоты;
- точка перегиба;
- асимптоты;
- точка перегиба;
- асимптоты.
Примеры для самостоятельного решения:
Провести полное исследование функций и построить эскизы графиков:
14.
15.
16.
Ответы:
- точки перегиба,
- асимптота.
14.
- абсциссы точек перегиба,
- асимптоты.
15.
- точка перегиба,
- асимптоты.
16.
- абсцисса точки перегиба,
-
асимптоты.
Практическое занятие №11.
Непосредственное интегрирование.
Контрольные вопросы.
В чем состоит задача интегрального исчисления?
Какая функция называется первообразной для данной функции f(x)? Указать ее основные свойства?
Дайте определение неопределенного интеграла для данной функции f(x).
Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
В чем состоит метод непосредственного интегрирования?
В чем состоит обобщение таблицы интегралов?
Укажите основные преобразования дифференциала (подведение под знак дифференциала).
Примеры с решениями:
Найти интегралы:
1)
=
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Примеры для практических занятий:
Найти интегралы:
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
; 18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
.
Ответы:
11)
; 12)
; 13) 2
;
14)
;15)
ln(
;
16)
;
17) ln
;
18)
;
19)
;
20) -2
;
21) arcsin
;
22) -
+
;
23)
;
24) -
;
25)
.
Примеры для самостоятельного решения:
Найти интегралы:
26)
;
27)
;
28)
;
29)
;
30)
;
31)
;
32)
;
33)
;
34)
;
35)
;
36)
dx;
37)
;
38)
;
39)
;
40)
.
Ответы:
26)
;
27) -
;
28)
;
29) -
;
30) -2
;
31) -
;
32)
;
33) -
;
34) 3
;
35)
;
36)
;
37) -
;
38)
;
39)
;
40)
.
Практическое занятие №12.
Метод замены переменной (подстановки).
Контрольные вопросы:
1. В чем состоит смысл интегрирования подстановкой?
Каким условиям должна удовлетворять функция
, используемая в качестве подстановки?
Указать наиболее употребительные подстановки.
Примеры с решениями:
1.
=
=
=
=
+
+c
=
+
+ c;
2.
3.
dx =
=
= 2
+ c = 2
+ c;
dx =
=
5.
+ с.
Примеры для практических занятий:
Используя подходящую подстановку, найти следующие интегралы:
6.
;
7.
;
8.
;
9.
; 10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
18.
;
19.
;
20.
.
Ответы:
6. –
(x =
);
7. 2arctg
(
;
8.
(t =
;
9.
(t = lnx);
10. 2ln(
(t
=
;
11.
;
12.
);
13.
;
14. 2
;
15.
;
16.
17.
+c
(x=2tgt);
18.
;
19. 2
;
20.
.
Примеры для самостоятельного решения:
Найти интегралы:
21.
;
22.
;
23.
;
24.
;
25.
;
26.
;
27.
;
28.
;
29.
;
30.
; 31.
;
32.
;
33.
;
34.
;
35.
.
Ответы:
21.
; 22.
;
23. ln(
;
24.
+c;
25.
)+c;
26.
;
27.
+c;
28. 2arcsin
;
29.
;
30.
31.
32.
;
33.
34.
+ c; 35.
.
Практическое занятие №13.
Интегрирование по частям.
Контрольные вопросы.
1. Записать и прочесть формулу интегрирования по частям.
2. Когда целесообразно применять формулу интегрирования по частям?
3. Указать план интегрирования по указанной формуле.
4. Перечислить основные типы интегралов, вычисляемых с помощью формулы интегрирования по частям.
5. Указать, что обозначается за U и dV в указанных выше типах интегралов.
Примеры с решениями:
Найти интегралы:
1)
2)
=
;
4)
Примеры для практических занятий:
Найти интегралы:
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
;
12)
13)
;
14)
;
15)
;
16)
Ответы:
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)