4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x в план 4 войдет переменная x5 .
Строка, соответствующая переменной x5 в плане 4, получена в результате деления всех элементов строки x3 плана 3 на разрешающий элемент РЭ=4/15
На месте разрешающего элемента в плане 4 получаем 1.
В остальных клетках столбца x5 плана 4 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 4 заполнены строка x5 и столбец x5 .
Все остальные элементы нового плана 4, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
91/10-(714/15 • 1/10):4/15 |
1-(0 • 1/10):4/15 |
0-(0 • 1/10):4/15 |
0-(1 • 1/10):4/15 |
3/10-(7/15 • 1/10):4/15 |
1/10-(4/15 • 1/10):4/15 |
0-(-1 • 1/10):4/15 |
-1/10-(-4/15 • 1/10):4/15 |
714/15 : 4/15 |
0 : 4/15 |
0 : 4/15 |
1 : 4/15 |
7/15 : 4/15 |
4/15 : 4/15 |
-1 : 4/15 |
-4/15 : 4/15 |
64/15-(714/15 • -1/15):4/15 |
0-(0 • -1/15):4/15 |
1-(0 • -1/15):4/15 |
0-(1 • -1/15):4/15 |
2/15-(7/15 • -1/15):4/15 |
-1/15-(4/15 • -1/15):4/15 |
0-(-1 • -1/15):4/15 |
1/15-(-4/15 • -1/15):4/15 |
(1/10+1M)-(714/15 • (-1/10)):4/15 |
(0)-(0 • (-1/10)):4/15 |
(0)-(0 • (-1/10)):4/15 |
(0)-(1 • (-1/10)):4/15 |
(7/10)-(7/15 • (-1/10)):4/15 |
(-1/10)-(4/15 • (-1/10)):4/15 |
(1M)-(-1 • (-1/10)):4/15 |
(1/10+1M)-(-4/15 • (-1/10)):4/15 |
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x1 |
61/8 |
1 |
0 |
-3/8 |
1/8 |
0 |
3/8 |
0 |
x5 |
293/4 |
0 |
0 |
33/4 |
13/4 |
1 |
-33/4 |
-1 |
x2 |
81/4 |
0 |
1 |
1/4 |
1/4 |
0 |
-1/4 |
0 |
F(X4) |
307/8 |
0 |
0 |
3/8 |
7/8 |
0 |
-3/8+1M |
1M |
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x1 |
61/8 |
1 |
0 |
-3/8 |
1/8 |
0 |
3/8 |
0 |
x5 |
293/4 |
0 |
0 |
33/4 |
13/4 |
1 |
-33/4 |
-1 |
x2 |
81/4 |
0 |
1 |
1/4 |
1/4 |
0 |
-1/4 |
0 |
F(X5) |
307/8 |
0 |
0 |
3/8 |
7/8 |
0 |
-3/8+1M |
1M |
Оптимальный план можно записать так:
x1 = 61/8
x5 = 293/4
x2 = 81/4
F(X) = 1•61/8 + 3•81/4 = 307/8
4) Составим двойственную задачу к прямой задаче.
Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.
Выясним экономический смысл двойственной задачи. Заметим, что каждое слагаемое в левой части ограничений должно измеряться в тех же единицах, что и правая.
Целевая функция в двойственной задаче определяет стоимость запасов всех ресурсов.
Левая часть ограничений определяет стоимость ресурсов в теневых (альтернативных) ценах, затраченных на xj.
2y1+2y2-4y3≥1
-y1+3y2+9y3≥3
4y1+37y2+20y3 → min
y1 ≤ 0
y2 ≥ 0
y3 ≤ 0
Переменные yj называются допустимым решением двойственной задачи. Переменные yj называются оптимальными, если они допустимые и на них целевая функция достигает минимальное значения.
Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.
Из первой теоремы двойственности следует, что Y = C*A-1.
Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.
Определив обратную матрицу А-1 через алгебраические дополнения, получим:
Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A-1 расположена в столбцах дополнительных переменных .
Тогда Y = C*A-1 =
Оптимальный план двойственной задачи равен:
y1 = -0.38
y2 = 0.88
y3 = 0
Z(Y) = 4*-0.38+37*0.88+20*0 = 30.88
Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно.
Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов. Вторая теорема двойственности.
Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:
2*6.13 + -1*8.25 = 4 = 4
2*6.13 + 3*8.25 = 37 = 37
-4*6.13 + 9*8.25 = 49.75 > 20
1-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y1>0).
2-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y2>0).
3-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 3-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y3 = 0.
Неиспользованный экономический резерв ресурса 3 составляет 29.75 (20-49.75).
Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду).
Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.