Аксиома теории вероятности.

σ-алгебра событий. Пусть F некот множ подмножеств подмножества множества Ω. Множ F наз σ-алгебра событий, если: А1) Ω F; A2) если A F, то A F; A3)если A1, A2, ..,Ai F, то ∑Ai F.

Свойства: 1. F (A1 и A2); 2.если А1,А2,… F, то произв ПAi F

Множ F наз полем событий связанных с банным испытанием.

Аксиомотичское опрд вероятности. Каждому событию А множ F ставится в соответствие величина P(A) наз вероятностью события и удовлетвор усл: А1) P(A)≥0; A2)P(Ω)=1; A3)если А1, А2,…,Аn попарно несовместны(AiAj= ○), то выпол усл: P( )= .

Условная вероятность. Независимость событий.

Вероятность события А вычисленная при усл, что имело место событие В наз условной вероятностью.

P(A/B)=P(AB)/P(B); P(B/A)=P(AB)/P(A).

Теорема (умнож вероятностей). Вероятность произведения 2х событий равна произведению вероятности одного из них на усл вероятность другого, вычисленную при усл, что первое событие имело место. P(AB)=P(A)*P(B\A)=P(B)*P(A\B)

События А и В независимы тогда и только тогда, когда вероятность их одновременного появления=произведению вероятности этих событий. P(AB)=P(A)*P(B)

Формула полной вероятности.

Теоркма1.Пусть события Н1,Н2,…,Нn образ полную группу несовместных событий, тогда вероятность А этого же поля событий равна:

P(A)= .Hi-гипотеза; Hi; i=1,n.

A=A Ω=AH1+AH2+…+AHi, т.к. события несовместны, то P(A)= P(AH1)+P(AH2)+…+(PAHi)=∑P(AHi) по A3=∑P(Hi)P(A/Hi) gпо теор умнож.

Схемы испытаний Бернулли.

Схемой Бернулли наз последов независимых испытаний, в каждом из кот возможно лишь 2а исхода (успех и неудача). При этом успех проходит с вероят p, а недача с вероят q=1-p.

Теорема Бернулли. Вероятность того, что в n испытаниях по схеме Бернулли успех наступит m раз: Доказ. Будем рассматривать n испытаний как одно сложное., имеющее 2n исходов. Если n=2 исходы сложного испытания: (A,A); (A,A); (A,A); (A,A).

1.Число благоприятных исходов,кот можно рассматривать m успехов на n различных местах равно C_n^m.

2.Вероятность каждого отдельно взятого исхода можно подсчитать по формуле произвед вероятностей независимых событий.

Поскольку все исходы несовместные события, то вероятность наступления события А в n испытаниях появится m раз и опр по формуле Pn(m)=p^mq^n-m+ p^mq^n-m +…+ p^mq^n-m =C_n^m*p^m*q^n-m. Числа , при m-изменяющейся от 1 до m наз биноминальными вероятностями.

Если каждое имеет k исходов, вероятности кот p1,p2,…,pk ∑pk=1, то вероятность того, что в n испытаниях первый исход появится m1 раз. Второй исход m2 раз и т.д. Опред по формуле: p=(n!/m1!*m2!*…*mk!)*p₁^m1*p₂^m2*…*p_k^mk

Наивероятнейшее число успехов.

Число успехов m₀, кот соответствует наибольшая вероятность в схеме Бернулли наз наивероятнейшим числом успехов. Для нахождения m₀ исследуем поведение прямолинейных вероятностей.

Pn(m)/Pn(m-1)>1 тогда и только тогда, когда p(n+1)-m>0

Т.о. с ростом m последовательность вероятностей Pn(m) будет возрастать до тех пор, пока m<p(n+1). В противном случае вероятность будет убывать.

Pn(m)/Pn(m-1)=0, если m=p(n+1). Если сущ m=p(n+1), то сущ 2а значения СВ, обладающие наиб вероятностью m₀₁= p(n+1); m₀₂= p(n+1)-1, т.к. при этом отношение Pn(m)/Pn(m-1)=1.

Если акого значения нет, то значением обладающим наиб вероятностью будет последнее значение, для кот p(n+1)-m>0, т.е. в этом случае m₀=p(n+1) будет опред целой частью от числа.

Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.

Для больших значений n и m.

1.Локальня. Вероятность того, что в n испытаниях по схеме Бернулли успех наступит m раз приблиз = , где φ(x)=1/2π*exp{-x²/2}, где .

Если n>>1, то имеет смысл исп локальную формулу.

2.Интегральная формула. Вероятность того, что в n испытаниях по схеме Бернулли успех наступит не меньше m₁ раз и не более m₂ раза, рано Pn(m₁≤n≤m₂)≈ φ(x₂)- φ(x₁), где ; q); . Свойства этой ф-ии: 1. φ(-x)=- φ(x); 2. =1/2.

Формула Пуассона. Вероятность того, что в n испытаниях успех наступит m раз опред по формуле: , где λ=np. n>>1; p<<1.

СВ (понятие и закон распределения).

СВ ξ наз ф-ия отображающая множ элем исходов на множ дискрет чисел, такая что для любого x R, множ исходов w, для кот ξ(w)<x принадлежит алгебре событий данного эксперемента. ДСВ наз СВ, кот может принимать конечное или счетное множ значений. НСВ наз СВ возможность значений, кот заполняют некот промежутки (конечн или бескон). Законом распред СВ наз всякое соотношение устанавливающее связь м/у возможными значениями СВ и соответствующие им вероятности.

ДСВ и ее ряд распределения.

Говорят, что СВ ζ имеет дискр распред, если она может приянять конечное или счетное множ значений x₁, x₂,… с вероятностями P(ξ=x₁)=p₁, …, P(ξ=x_i)=p₂, при чем выполняется усл нормировки .

Рядом распед ДСВ наз совокупность всех возможных значений и соответствующих им вероятностей. Графич изображ ряда распределения наз многоугольником распрд. Для его построения значение СВ x_i откладывают по оси абсцисс, а вероятности по оси ординат.

Функция распределения СВ.

Ф-ей распред СВ ξ наз ф-ия F_ζ(x), знач кот в каждой точке x R равно вероятности того, что СВ ζ примет значение меньше х. F_ζ(x)=P(ξ<x).

Свойства. 1.Ф-ия распред есть неубывающ ф-ия F(x₂)≥F(x₁), если x₂> x₁.

2. =F(-∞)=0; если =F(+∞)=1. 3.Ф-ия распред непрерывна слева в каждой точки =F(x₀). 4. =P(ξ≤ x₀) или F(x₀+0)-F(x₀)= P(ξ= x₀). 5.Если ф-ия распред непрерывна в точке x₀, то вероятность того, что СВ ξ примет значение x₀=0. P(ζ= x₀)=0. 6.Вероятность попадания СВ на интервал [a;b) равна разности значений ф-ии распред в граничных точках. P(a≤ξ<b)=F(b)-F(a).

Ф-ия распред ДСВ. Значение ф-ии распред для любой СВ для любо х R => F(x)= P(ξ<x)= ∑ P(ξ =x_i), x_i<x. Для ДСВ ф-ия распред представляет собой ступенчатую ф-ию, имеющего разрывы 1-ого рода в тт, отвечающих возможным значениям СВ. Величина разрыва = вероятности этих значений.

НСВ. Плотность распределения НСВ.

Говорят, что СВ ζ имеет непрер распред, если сущ неотр ф-ия f_ζ(x) такая, ято для любого x R ф-ия распред СВ F_ζ(x) представлена в виде: F_ζ(x)= .

f_ζ(x) наз плотностью распред (плотностью вероятности) СВ ξ.

Свойства. 1. f_ζ(x)≥0; 2. =1 (усл нормировки). = lim = F_ζ(+∞)=1; Теорема. Ели ф-ия f(x) удовлет 1 и 2 с-ву, то она явл ф-ей плотности распред. 3.Если СВ имеет непрер распред, то ее ф-ия распред есть непрер ф-ия: F_ζ(x)= . 4.Ф-ия распред НСВ дифференцируема “почти всюду”: F’(x)=f(x). исходя из этого св-а и поред производной, ф-ию плотности можно опред след образом: f(x)=F’(x)= 5.Если СВ имеет непрер распред, x₀ можно записать: P(ξ= x₀)=0. Нулевой вероятностью могут обладать не только невозможные события. Событие, заключающееся в том, что непрерывная СВ ξ примет конкретное знач x возможно, однако вероятность его =0. 6. =P(α≤ξ<β). P(α≤ξ<β)=F(β)-F(α)= - = . Геомет данное св-во означает, что площадь под кривой плотности вероятности на интервале (α;β) есть вероятность попадания в этот интервал. Основные хар-ки СВ. 1)мат ожидание; 2)дисперсия.