Придельные теоремы тв.

Теорема1. Центральная предельная теорема. Если СВ , …, независимы, одинаково распределены, имеют конечные мат ожидание и дисперсию, то при n справедливо: (1) =>N(0,1); (2) =>N(0,1); (3) =>N(0,1). Т.к. величины =>N(0,1), то будем считать, что , …, -это стандартные СВ с мат ожиданием=0 и дисперсией =1. Рассмотрим СВ . При этом заметим M(η)=0, D(η)=1. Пусть -харак-ая ф-ия величин . По св-ам харак-ой ф-ии: (t/ ). Раскладываем харак-ую ф-ию в ряд Макларена: +… +0*( ; , при n - ф-ия распред нормального закона с характер 0 и 1. Следовательно по св-ву сходимости по распред ф-ия распред-ия СВ η= стремится к ф-ии распределения . Т.о. при опред усл закона распред суммы производных СВ стремится к норм закону.

Теорема2. (Муавра-Лапласса). Пусть ξ - СВ распределенная по биноминальному закону с параметрами n и p (ξ ). Тогда при n . 1)Интегральная формула Муавра-Лапласса. Пусть ξ СВ распред с парам n и p по биноминальному закону, тогда при n P(a где Ф( -ф-ия Лапласса. 2)Локальная формула Муавра-Лапласса. Если ξ , то n : P(ξ=m)

Теорема3. Пуассона. Пусть ξ - СВ распределенная по закону Пуассона с парам λ, тогда при λ : =>N(0,1). Доказ. Введем величину η= ; D(ξ)=M(ξ)=λ, тогда D(η)=1; M(η)=0. Рассмотрим хар-ую ф-ию для СВ ξ: тогда . Рассмотрим показатель, кот разложим в ряд Макларена по степени : λ( ; . Что соответствует харак-ой ф-ии стандарт норм распределения.