Стандартные случайные величины

Каждая из случайных величин обладает собственным центром распределения (математическим ожиданием) и своей степенью рассеяния значений (характеризуемой дисперсией или среднеквадратичным отклонением). Также у каждой случайной величины имеются свои единицы измерения. Для сравнения случайных величин друг с другом удобным является переход к рассмотрению соответствующих стандартных случайных величин.

_{Переход от произвольной случайной величины} к стандартной осуществляется следующим образом. Значение стандартной случайной величины получается из соответствующего значения исходной случайной величины вычитанием из него математического ожидания этой величины и делением разности на среднеквадратичное отклонение случайной величины: _.

_{Математическое ожидание любой стандартной случайной величины равно 0, среднеквадратичное отклонение равно 1, а её значения являются безразмерной величиной.}

Равномерное распределение

Распределение случайной величины называется равномерным, если случайная величина приобретает любое из своих значений с равной вероятностью (для дискретных случайных величин) либо вероятность попадания случайной величины в любой отрезок её значений пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения (для непрерывных случайных величин).

Примеры:

1. число очков, выпавших на игральной кости;

2. число, выданное генератором случайных чисел компьютера.

Особенностью дискретного равномерного распределения является то, что вероятность для случайной величины принять некоторое значение является числом, обратным к количеству значений случайной величины.

Плотность вероятности непрерывного равномерного распределениям на отрезке имеет вид:

Равномерное распределение является простейшим видом распределения, но случайные величины с таким распределением встречаются редко.

Биномиальное распределение

Распределение дискретной случайной величины называется биномиальным, если вероятности того, что случайная величина принимает то или иное значение, вычисляется по формуле Бернулли.

Пример: число выпавших гербов при подбрасывании четырёх монет.

Такому распределению подчиняется случайная величина «число произошедших событий в серии из n одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых это событие может произойти с вероятностью p». Т.е. это случайные величины, возникающие в испытаниях, моделируемых схемой Бернулли, а значит такое распределение описывается двумя параметрами.

Значения, которые принимает такая случайная величина – целые числа из промежутка _.

Параметры распределения случайной величины, подчиняющейся биномиальному закону распределения:

Часто вместе с биномиальным распределением рассматривается случайная величина «частота появления события в серии из n одинаковых независимых испытаний». Её параметры распределения: _{, , где p – вероятность появления этого события в отдельном испытании.}

Распределение Пуассона

Распределение дискретной случайной величины называется распределением Пуассона, если вероятности того, что случайная величина принимает то или иное значение вычисляется по формуле Пуассона.

Такому распределению подчиняется количество редких событий в серии однотипных независимых испытаний или количество редких событий, произошедших за некоторый интервал времени. Это распределение описывается одним параметром – средним числом появления событий.

Пример: число отказов при работе сети за сутки.

Множеством возможных значений такой случайной величины являются все неотрицательные целые числа (хотя иногда в рассмотрение вводится и верхняя граница этих значений).

Параметры распределения случайной величины, подчиняющейся распределению Пуассона: _.