2. Элементарные события

События можно разбить на частные случаи: несколько событий, при наступлении каждого из которых происходит рассматриваемое событие. Если рассмотреть множество всех событий данного испытания и разбивать их на частные случаи, то через некоторое время придём к набору событий, которые уже нельзя будет разбить на более частные случаи. Эти события называют элементарными. Элементарные события играют важную роль при изучении испытания.

Элементарное событие – это событие, которое невозможно разбить на частные случаи при рассмотрении данного испытания.

Пример: выпадение двух очков на игральной кости.

В результате испытания происходит ровно одно элементарное событие. Произошедшее элементарное событие характеризует результат проведённого испытания. По нему мы можем судить обо всех событиях, связанных с данным испытанием: все события, которым благоприятно данное элементарное событие, и не происходит ни одно из событий, которым оно не благоприятно. Набор элементарных событий, которые могут наступить в данном испытании, является важной характеристикой испытания.

Пространство элементарных событий – это множество всех элементарных событий данного испытания (обозначение: ).

Пример: выпадение одного очка, выпадение двух очков, выпадение трёх очков, выпадение четырёх очков, выпадение пяти очков и выпадение шести очков на игральной кости.

Элементарные события принято обозначать символом с различными индексами. Элементарные события можно обозначать как и остальные события, такое отличие связано с использованием теоретико-множественного подхода к анализу испытаний.

Элементарные события являются элементами универсального множества – пространства элементарных событий. Каждому событию соответствует множество элементарных событий, которые ему благоприятны. Это множество обозначается также как и событие, по нему можно опознать событие или отличить его от других. Невозможному событию соответствует пустое множество, а достоверному – пространство элементарных событий (поэтому пространство элементарных событий иногда обозначают U).

3. Алгебра событий

При анализе сложных событий (выполнения условий) эти события удобно представить в виде некоторой конструкции из более простых. Для построения таких конструкций используются операции над событиями. Для получения результатов таких операций можно использовать теоретико-множественный подход.

События А и В называются равными, если в результате испытания они либо одновременно происходят, либо одновременно не происходят.

На практике равные события рассматривают как различные описания одного и того же события. Множества благоприятных элементарных событий у равных событий совпадают.

Пример: выпадение шести очков и выпадение числа очков большего пяти на игральной кости.

Суммой событий А и В называется событие А+В, которое наступает, когда наступает хотя бы одно из событий А или В.

Сумма используется, когда для выполнения сложного условия достаточно выполнения хотя бы одного из простых условий (не путать с ровно одним). Множество элементарных событий, благоприятных сумме событий, является объединением множеств элементарных событий, благоприятных событиям-слагаемым.

Пример:

А – выпадение чётного числа очков;

В – выпадение простого числа очков;

А= , В= ;

А В= ;

А+В – выпадение более одного очка.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает, когда одновременно наступают оба события А и В.

Произведение используется, когда для выполнения сложного условия необходимо выполнение всех простых условий. Множество элементарных событий, благоприятных произведению событий, является пересечением множеств элементарных событий, благоприятных событиям-множителям.

Пример:

А – выпадение чётного числа очков;

В – выпадение простого числа очков;

А= , В= ;

А В= ;

АВ – выпадение двух очков.

Противоположное событие – событие, которое происходит, когда не происходит данное событие.

Символ противоположного события используется, когда нужно показать невыполнение некоторого условия. Множество элементарных событий, благоприятных событию противоположному данному, является дополнением множества элементарных событий, благоприятных данному событию, до пространства элементарных событий.

Пример:

А – выпадение чётного числа очков;

А= ;

;

– выпадение нечётного числа очков.

Используя аналогию между операциями над событиями и операциями над множествами легко получить свойства операций над событиями (некоторые из них не являются очевидными без использования формального подхода). Эти свойства используют для упрощения структур сложных событий и условий и проверки равенства событий.