Глава 3: Системы независимых испытаний

Часто встречающимся на практике случаем является система одинаковых испытаний, не влияющих на результаты друг друга, в каждом из которых может произойти некоторое событие. При изучении таких случаев, как правило, интерес представляет вероятность наступления определённого числа событий в серии испытаний. Моделью такой ситуации является схема Бернулли. Формула Бернулли и приближённые формулы позволяют дать ответ на вопросы о вероятностях таких результатов.

11. Схема Бернулли

Пусть проводится серия из n одинаковых независимых испытаний. В результате одного такого испытания событие А может как наступить с вероятностью р, так и не наступить (наступает событие ) с вероятностью _{. Данную серию испытаний можно рассматривать как некоторое испытание, математическая модель которого называется схемой Бернулли.}

Схема Бернулли однозначно задаётся двумя параметрами:

1. натуральным n – число одинаковых независимых испытаний в серии;

2. произвольным p ( ) – вероятность появления интересующего события в отдельном испытании.

_{Практическую значимость представляет не результат каждого отдельного испытания серии, а общее количество интересующих событий, произошедших в результате серии испытаний. Вероятность того, что в результате серии испытаний, интересующее нас событие} А произошло ровно k раз вычисляется по формуле Бернулли: _, где _.

_{Если требуется узнать вероятность} того, что событие А наступило в серии из n испытаний от k₁ до k₂ раз, необходимо просуммировать вероятности, найденные по формуле Бернулли, по всему промежутку: _{(или кратко ).}

Пример:

12. Наивероятнейшее число появления события

Из теоретических соображений или практических фактов можно видеть, что с изменением числа появившихся событий от 0 до n, вероятность появления такого количества событий в серии испытаний меняется. Эта вероятность сначала возрастает, а затем снова убывает.

Число наступления события в серии испытаний, которому соответствует максимальная вероятность появления, называется наивероятнейшим числом появления события в серии испытаний (обозначение k₀).

Найдём это число, учитывая, что вероятность появления определенного числа событий сначала возрастает, а затем убывает (т.е. наивероятнейшее число соответствует «пику» вероятности):

Объединяя неравенства в одно, получаем условия, которому подчиняется наивероятнейшее число: _.

Длина отрезка, которому принадлежит наивероятнейшее число, равна 1, значит могут наблюдаться ситуации, когда в этот отрезок попадает два целых числа. В таких случаях наивероятнейших чисел также будет два.

Пример:

13. Приближения Лапласа

При большом числе испытаний в серии вычисление вероятностей по формуле Бернулли становится трудоёмкой задачей. Трудности возникают из-за большого числа множителей в произведении и высоких степеней, кроме того получаемые числа могут выйти за пределы разрядной сетки при машинном вычислении. Но именно такие случаи чаще всего встречаются на практике. Преодолеть вычислительные трудности позволяет использование приближённых формул.

_{При выполнении условия} достаточной точностью обладают формулы Лапласа.

_{Для вычисления вероятности наступления события определённое число раз используется локальная приближённая формула Лапласа: , где и .}

_{Значение функции можно найти в соответствующей таблице, при этом нужно учитывать, что данная функция является чётной: .}

_{Пример:}

Если необходимо вычислить вероятность того, что событие наступает некоторое число раз из заданного промежутка, то можно воспользоваться интегральной приближённой формулой Лапласа:

_{, где , и .}

_{Значение функции} можно найти в соответствующей таблице, при этом нужно учитывать, что данная функция является нечётной: _.

Пример:

При невыполнении условия применение формул Лапласа приводит к существенным погрешностям.