- •1.Кільце многочленів к[X].
- •Означення многочлена
- •Дії над многочленами.
- •Подільність в кільці многочленів p[X],де р-поле. План
- •Спосіб знаходження нсд двох многочленів – алгоритм Євкліда.
- •Лінійне представлення нсд
- •Корені многочлена План
- •Означення і ознака кореня многочлена. Кратні корені.
- •3. Формули Вієта.
Лекція №1
Кільце многочленів та його властивості.
План
Кільце многочленів К[x].
Подільність в К[x].Теорема про ділення з остачею в К[x] , де К – поле.
Ділення многочлена на лінійний двочлен . Схема Горнера. Теорема Безу . Розклад многочлена за степенями лінійного двочлена.
1.Кільце многочленів к[X].
З курсу математичного аналізу відомо,що многочленом від однієї змінної є ціла раціональна функція виду:
(1)
задана на множині дійсних чисел,де коефіцієнти – довільні задані дійсні числа.
Найпростіші типи многочленів лінійна функція та квадратний тричлен відомі зі школи.
В алгебрі многочлени зустрічались у зв’язку з розв’язуванням алгебраїчних рівнянь вищих степенів з одним невідомим,тобто рівнянь виду:
(2)
ліва частина яких є многочлен від однієї змінної. На відміну від аналізу в алгебрі многочлени вважалися цілими раціональними функціями комплексної змінної ,тобто виразами виду (1),в яких коефіцієнти є комплексні числа ,а змінна може набувати довільних комплексних значень . Це важливо для розв’язування рівнянь 3-го ,4-го і вищих степенів.
Означення многочлена
Вираз виду :
Повністю визначається коефіцієнтами .
Їх вибирають так щоб над ними можна було виконувати операції додавання та множення за тими правилами ,що і в елементарній математиці , і ці дії мали властивості:
Асоціативність;
Дистрибутивність;
Комутативність.
Коефіцієнти многочленів повинні належати деякому комутативному кільцю К,без дільників нуля ( ) – області цілісності К.
Означення 1.
Многочленом(поліномом)від однієї змінної над областю цілісності К називається вираз виду (3) , де довільне ціле невід’ємне число - елементи К, а деякі символи; називається степенем змінної (або невідомого ) , а м коефіцієнтом многочлена (3) або коефіцієнтом при ( .
Многочлени від однієї змінної позначатимемо : . Сукупність всіх многочленів від над областю цілісності К-символом К[ ].
Означення 2.
Вираз називається членом або членом го степеня многочлена.
(4)
нульовим або вільним членом причому записи рівнозначні. Якщо (тобто є нульовим елементом області цілісності К) ,то кажуть ,що член многочлена дорівнює нулю або його немає.
У виразі для многочлена (4) члени, які дорівнюють нулю можна не писати. Так многочлен:
(5)
Можна записати коротше :
Означення 3.
Відмінний від нуля член многочлена ,степінь якого більший за степінь усіх інших відмінних від нуля членів цього многочлена ,називається старшим членом ,його коефіцієнт старшим коефіцієнтом ,а його степінь – степенем многочлена .
Степінь многочлена позначають deg f.
Будь-який многочлен записуватимемо так,щоб запис починався зі старшого члена ,тобто не включати у запис рівних нулю членів ,степінь яких більший за deg f . Так многочлен (6) подаватимемо у будь-якому з виглядів :
Будь - який многочлен степеня подаватимемо у вигляді :
(7)
де ,а з решти коефіцієнтів частина або всі можуть дорівнювати нулю.
Таку форму запису називають канонічною . Вживають також назву «многочлен стандартного виду».
- лінійний двочлен.
Многочлени нульового степеня вважають константами ,цей многочлен називатимемо нуль многочленом: .
Нуль – многочлен немає ніякого степеня.