- •Теорема об изменении кинетической энергии
- •636035, Томской обл., г. Северск, пр. Коммунистический, 65
- •Введение
- •1 Теоретические обоснования
- •2 Пример выполнения задания
- •Эта масса называется приведенной к ползуну массой системы. Для рассматриваемого примера она равна
- •Работа нормальной реакции равна нулю, так как
- •Работа силы трения скольжения на основании (6) равна
- •Литература
Эта масса называется приведенной к ползуну массой системы. Для рассматриваемого примера она равна
Кинетическая энергия всей системы
(23)
2.4.2 Определение работы сил
Сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на заданном перемещении (рисунок 6) равна
(24)
где - работа внешних сил, приложенных к грузу 1, Дж;
- работа внешних сил, действующих на барабаны 2, Дж;
- работа внешних сил, действующих на блок 3, Дж;
- работа внешних сил, действующих на груз 4, Дж.
На груз 1 (см.рисунок 6) действуют силы: вес , нормальная реакция плоскости, сила трения
Рисунок 6 – К определению работы сил, приложенных к системе
Работа силы тяжести определится по формуле (5):
Работа нормальной реакции равна нулю, так как
.
Работа силы трения скольжения на основании (6) равна
где
Тогда по формуле (7)
Работа всех внешних сил, приложенных к грузу 1,
или
(14)
На барабаны 2 действуют силы: вес , составляющие реакции подшипника и внешний момент .
Работа сил и равна нулю, так как они приложены к неподвижной точке.
Работа внешнего момента определяется по формуле (11):
где - угол поворота барабанов 2.
Выразим угол поворота через перемещение груза :
так как нити нерастяжимы то
Тогда работа внешних сил, приложенных к барабанам 2,
(26)
Работа внешних сил, приложенных к блоку 3, определяется как работа силы тяжести (4):
Перемещение центра тяжести блока 3 выразим через перемещение груза 1. Так как линейные перемещения точек находятся в таком же соотношении, как и соответствующие им линейные скорости, то
Тогда работа внешних сил, приложенных к блоку 3, определится по формуле:
(27)
Работа внешних сил, приложенных к грузу 4, равна
(28)
так как
Подставим выражения (25)-(28) в формулу (24).
Работа всех внешних сил, приложенных к данной системе, равна
или
где через обозначена величина, имеющая размерность силы, называемая приведенной силой [4]:
Вычислим приведенную силу
Следовательно,
(29)
При имеем
.
Так как получили то есть работа движущих сил больше работы, затрачиваемой на преодоление сил сопротивления, то на рассматриваемом перемещении кинетическая энергия системы возрастает. Это условие выполняется в случае, когда приведенная к ползуну сила положительна .
2.4.3 Определение скорости груза 1
Для определения скорости груза 1 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.
Значения Т из (23) и из (29) подставляем в формулу (13):
Скорость груза 1 равна
При получим, что
2.4.4 Определение ускорения груза 1
Закон изменения кинетической энергии для механической системы можно записать в дифференциальной форме [4]:
Отсюда легко находим дифференциальное уравнение движения системы:
Когда приведенная масса постоянна , будем иметь
или
(30)
где W - ускорение,
Задача о движении механической системы сводится к задаче о движении точки, к которой приведены масса всей системы и силы, приложенные к её точкам.
Ускорение при и определится из формулы (30):
Приведенная к ползуну сила положительна Система будет двигаться в выбранном направлении с ускорением.
П р и м е ч а н и я
1 Когда приведенная к ползуну сила отрицательна то система перемещается в выбранном направлении с замедлением либо она остается в покое, либо движется в обратном направлении (с ускорением).
2 Ускорение груза 1 можно определить также следующим способом:
- зная, что , находим ускорение
то есть ускорение груза 1 равно
- выполним дифференцирование при , получим
и найдем значение ускорения
2.5 Заключение
В результате расчета установили, что:
а) груз 1 перемещается в выбранном направлении вверх по наклонной плоскости ускоренно: так как ;
б) в конце пути скорость груза ;
в) ускорение груза равно