- •1 Простые типы данных языка программирования си.
- •2 Операции над данными (операция присваивания., арифметические операции, операции над битами, операции отношения, логические операции, операция условия ?:) языка программирования си.
- •3 Операторы передачи управления (условные и безусловные) языка си.
- •4 Операторы организации цикла языка си.
- •5 Операторы continue, break языка си.
- •6 Что такое препроцессор. Директивы препроцессора (define, error, условной компиляции) языка си.
- •7 Массивы и указатели языка си.
- •8 Функции пользователя языка программирования си (понятие, объявление, определение, вызов).
- •9 Функции пользователя языка си (передача параметров в функцию, ссылочные переменные).
- •10 Рекурсивные функции. Массивы и функции языка си.
- •11 Типы определяемые пользователем: структуры языка си.
- •12 Типы определяемые пользователем: объединения, битовые поля, перечисляемый тип, оператор переименования типа языка си.
- •13 Классы памяти и область видимости языка си.
- •14 Определение размера выделенной памяти в языке си. Функции динамического выделения памяти.
- •15 Численные методы решение алгебраических уравнений: постановка задачи, табличный способ отделения корней.
- •16 Численные методы решение алгебраических уравнений: метод половинного деления.
- •17 Численные методы решение алгебраических уравнений: метод хорд.
- •18 Численные методы решение алгебраических уравнений: метод Ньютона, модифицированный метод Ньютона.
- •19 Численные методы решение алгебраических уравнений: метод секущих.
- •20 Численные методы простых итераций.
- •21 Численные методы решения систем линейных уравнений (слау): постановка задачи.
- •22 Численные методы решения систем линейных уравнений (слау): проверка корректности постановки задачи.
- •23 Численные методы решения систем линейных уравнений (слау): метод Гаусса.
- •24 Численные методы решения систем линейных уравнений (слау): метод простых итераций.
- •25 Численные методы решения систем линейных уравнений (слау): метод Зейделя.
- •26 Численные методы восстановления функций: постановка задачи.
- •27 Численные методы восстановления функций: интерполяция полиномом Лагранжа. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона.
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •28 Численные методы восстановления функций: погрешность интерполирования (остаточный член интерполяционной формулы и оптимальный выбор узлов).
- •3.3.2 Оптимальный выбор узлов
- •29 Численные методы восстановления функций: интерполяция кубическим сплайном.
- •3.4.1 Интерполяция кубическим сплайном
- •30 Численные методы восстановления функций: метод наименьших квадратов.
- •31 Методы численного интегрирования: постановка задачи, метод прямоугольников.
- •32 Методы численного интегрирования: постановка задачи, метод трапеций.
- •33 Методы численного интегрирования: постановка задачи, метод Симпсона.
- •34 Методы численного интегрирования: постановка задачи, методы Монте–Карло.
- •35 Решение математических задач в excel.
- •36 Понятие информационной системы. Виды информационных систем.
- •37 Виды и модели данных.
- •38 Понятие базы данных. Виды баз данных.
- •39 Элементы баз данных. Принципы создания базы данных. Языковые средства баз данных.
- •40 Основы работы в субд foxpro: типы файлов, системный интерфейс.
- •Главное меню субд
- •Меню FoxPro для dos
- •Главное окно и меню FoxPro для Windows.
- •41 Структура команды foxpro. Основные команды foxpro: открытие базы данных (бд), добавление записей, редактирование бд, просмотр содержимого бд.
- •Знаки операций
- •Структура команд
- •42 Команды foxpro: перемещение по бд, просмотр данных, удаление данных, изменение данных, фильтрация данных, поиск информации.
- •Фильтрация данных
- •Последовательный поиск
- •Продолжение поиска
- •43 Индексирование базы данных в foxpro.
- •44 Работа с несколькими базами данных: связь одна запись к одной в foxpro.
- •Понятие о рабочих областях
- •Связь вида одна_запись_к_одной
- •45 Работа с несколькими базами данных: связь одна запись ко многим в foxpro.
- •46 Команды ввода-вывода в foxpro.
- •47 Работа с переменными в foxpro: команды присваивания и управления.
- •48 Команды организации циклов в foxpro. Цикл с условием
- •Цикл с параметром
- •Цикл сканирования базы данных
- •49 Разработка программ в foxpro: функции и процедуры. Классы переменных.
- •50 Понятие компьютерной сети, назначение.
- •51 Общие принципы организации и функционирования сети.
- •52 Протоколы передачи данных в сети.
- •Работа протоколов
- •53 Каналы связи в сети. Типы кабелей. Беспроводная среда. Каналы связи
- •Типы кабелей
- •54 Классификация компьютерных сетей.
- •55 Локальные сети: понятие и особенности.
- •56 Особенности организации локальной сети: одноранговая сеть, сеть с выделенным
- •Особенности организации локальных сетей
- •2.3.1. Одноранговая сеть
- •Сеть с выделенным сервером
- •57 Топология локальных сетей: понятие и виды.
- •Топология «шина»
- •Топология "звезда"
- •58 Глобальные сети: понятие и особенности.
- •59 Структура и основные принципы работы в сети Интернет.
- •60 Адресация в Интернет.
- •62 Основные службы Интренет.
- •Сервис ftp - протокол передачи файлов
- •Система gopher
- •Система usenet
- •Система Telnet - взаимодействие с другим компьютером
- •Программы просмотра (браузеры или обозреватели)
3.3.2 Оптимальный выбор узлов
Величину , входящую в оценку точности интерполирования, можно минимизировать за счет выбора узлов интерполирования.
Задача состоит в том, чтобы подобрать узлы , так чтобы минимизировать величину:
Решение данной задачи определяется следующим соотношением:
(3.3.5)
и оценка (3.3.3) примет вид:
(3.3.6)
Но при этом следует помнить, что бесконечное увеличение числа узлов может и не привести к уменьшению ошибки интерполяции. Об этом более подробно можно прочесть в А.А. Самарский и др. Численные методы, 1989.
29 Численные методы восстановления функций: интерполяция кубическим сплайном.
Интерполирование многочленами Лагранжа или Ньютона на всем отрезке с использованием большого числа узлов интерполяции часто приводит к плохому приближению, что объясняется сильным накоплением погрешности в процессе вычислений. Для того чтобы избежать больших погрешностей, весь отрезок разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют функцию многочленом невысокой степени (кусочно-полиномиальная интерполяция). Одним из способов интерполирования является интерполирование с помощью сплайн-функций.
Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.
3.4.1 Интерполяция кубическим сплайном
Пусть на интервале задана непрерывная функция . Введем
и обозначим , .
Сплайном, соответствующим функции и узлам называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:
на каждом сегменте , функция является многочленом третьей степени;
функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на (условия непрерывности);
(условия интерполирования).
Построение сплайна (алгоритм интерполирования):
В отличие от интерполяции Лагранжа, когда вся функция аппроксимируется одним полиномом, при сплайновой интерполяции на каждом интервале
На каждом отрезке будем искать функцию в виде многочлена (3.4.1):
(3.4.1)
где - коэффициенты, подлежащие определению.
Коэффициент
Коэффициент , так как .
Коэффициент , так как .
Коэффициент , так как .
Найдем коэффициенты из условий, которым должен удовлетворять сплайн:
Условия интерполирования: при этом и условия непрерывности функции: для каждого приводят к уравнению (3.4.2):
(3.4.2)
Обозначим , перепишем уравнениям (3.4.2) в виде (3.4.3)
(3.4.3)
Условия непрерывности первой производной для каждого приводят к уравнениям (3.4.4)
(3.4.4)
Условия непрерывности второй производной для каждого приводят к уравнениям (3.4.5):
(3.4.5)
Объединяя уравнения (3.4.3), (3.4.4), (3.4.5) получим систему уравнений относительно неизвестных .
Два недостающих уравнения получают, задавая те или иные граничные условия для . Например, что функция удовлетворяет условиям . Тогда из этого условия получаем недостающие уравнения (3.4.6):
и (3.4.6)
Таким образом, получаем замкнутую систему, разрешив которую относительно коэффициентов кубического сплайна получим эти коэффициенты.
Для решения данной системы хорошо применим метод прогонки. Алгоритм данного метода приведен в Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках бейсик, фортран, паскаль, 1991 г.