- •Классическое определение вероятности и ее свойства
- •Комбинаторные методы подсчета
- •3. Геометрический метод определения вероятности.
- •8. Понятие произведения событий
- •9. Понятие разности событий
- •10) Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •20. Наивероятнейшее число благоприятных исходов
- •21. Простейший поток событий
- •22. Случайные величины (дискретные и непрерывные)
- •23. Закон распределения дискретной случайной величины
- •24. Функция распределения дискретной случайной величины
- •25. Мат. Ожидание дискретной случайной величины. Свойства мат. Ожидания.
- •26. Дисперсия дискретной случайной величины
- •27. Закон распределения непрерывной случайной величины
- •28. Плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •29. Мат ожидание и дисперсия непрерывной случайной велечины.
- •30. Среднее квадратическо отклонение, мода и медиана непрерывной случайной величины.
- •31.Начальные и центральные моменты непрерывной случайно величины
- •32.Биноминальный з-н распределения
- •35.Равномерное распределение
- •36. Показательный закон
- •37. Нормальное распределение
- •38. Свойства случайной величины, распеделенной по нормальному закону
- •39. Свойства нормального распределения
- •40. Распределение Пирсона
- •41. Распределение Стьюдента.
- •42. Распределение Фишера
- •43. Понятие многомерной случайной величины и закон ее распределения
- •44. Функция распределения многомерной случайной величины
- •45. Плотность вероятности двумерной случайной величины.
- •46. Зависимые и независимые случайные величины.
- •47.Ковариация и коэффициент корреляции. Свойства.
- •48 Закон больших чисел.
- •49. Неравенство Маркова
- •50. Неравенство Чебышева
- •51. Теорема Чебышева
- •52. Теорема Бернулли
- •53. Центральная предельная теорема (цпт)
- •54. Элементы статистики. Понятие об оценке параметров
- •55. Оценка мат ожидания и дисперсии по выборке
- •56. Вариационный ряд
- •58. Основы математической теории выборочного метода
- •59. Оценка вероятности по относительной частоте. Доверительный интервал.
- •60. Оценка параметров в статистике
- •61. Дисперсионный анализ. Однофакторный комплекс.
- •62. Корреляционный анализ. Регрессия.
- •63. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.
59. Оценка вероятности по относительной частоте. Доверительный интервал.
Пусть производятся независимые испытания с неизвестной вероятностью p появления события A в каждом испытании. Требуется оценить неизвестную вероятность p по относительной частоте, т. е. надо найти ее точечную и интервальную оценки.
Точечная оценка. В качестве точечной оценки неизвестной вероятности p принимают относительную частоту:
W = т/п,
где т—число появлений события A, п—число испытаний.
Эта оценка несмещенная, т. е. ее математическое ожидание равно оцениваемой вероятности. Действительно, учитывая, что М (т)= пр, получим:
M (W) = M [m/п] = М (т)/п = пр/п = р.
Найдем дисперсию оценки, приняв во внимание, что D(m)= npq:
D (W) = D [т/п] = D (т)/п2 = npq/n2 = pq/n,
тогда среднее квадратическое отклонение находим по формуле:
σ=
Интервальная оценка. Найдем доверительный интервал для оценки вероятности по относительной частоте.
Формула, позволяющая найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения не превысит положительного числа б:
Р (|Х —а | < б) = 2Ф (б/а) (*),
где X —нормальная случайная величина с математическим ожиданием М (Х) = а.
Если п достаточно велико и вероятность р не очень близка к нулю и к единице, то можно считать M(W) = p.
Таким образом, заменив в соотношении (*) случайную величину X и ее математическое ожидание а соответственно случайной величиной W и ее математическим ожиданием р, получим приближенное равенство
P (| W—р | < б) = Ф(б/σ).
Построим доверительный интервал с надежностью γ:
P (| W—р | < б) = Ф(б/σ) = γ
Заменим σ ,
Тогда P (| W—р | < б) = Ф(б / ) = Ф(t) = γ,
Где t = б / ), откуда б = t /
Заменим в неравенстве случайную величину W на неслучайную наблюдаемую относительную частоту ω и заменим q=1-p, подставим выражение для б, получим:
|ω - p| < t / , раскрываем модуль, оценивая ω< p и ω>p получим p1 и p2 - промежутки для доверительного интервала.
Доверительный интервал.
Θ – Исследуемый параметр, Θ * - статистическая характеристика исследуемого параметра
| Θ - Θ *|<б – точность оценки
P (|Θ-Θ*|<б) = γ – точность( доверительная вероятность)
Доверительным называют интервал (Θ* - б; Θ* + б), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью.
60. Оценка параметров в статистике
Пусть нам нужно изучить к-либо признак генеральной совокупности и мы теоретически знаем его тип распределения.
Обычно имеем: данные выборки (например, значения признака x1,x2,xn в результате n независимых испытаний).
61. Дисперсионный анализ. Однофакторный комплекс.
Основная идея: сравнения «факторной» дисперсии и «остаточной» (вызванная в результате случайных причин).
62. Корреляционный анализ. Регрессия.
Корреляционный анализ - метод, позволяющий обнаружить зависимость между несколькими с.в.
Допустим, проводится независимое измерение различных параметров у одного типа объектов. Из этих данных можно получить качественно новую информацию - о взаимосвязи этих параметров.
Н апример, измеряем рост и вес человека, каждое измерение представлено точкой в двумерном пространстве:
Н есмотря на то, что величины носят случайный характер, в общем наблюдается некоторая зависимость - величины коррелируют.
В данном случае это положительная корреляция (при увеличении одного параметра второй тоже увеличивается).
Возможны также такие случаи:
Регре́ссия - зависимость среднего значения к-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин. В отличие от чисто функциональной зависимости y=f(x), при регрессионной связи одному и тому же значению x могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины y. Если при каждом значении x=xi наблюдается ni значений yi1…yin1 величины y, то зависимость средних арифметических и является регрессией.