- •9. Формула Бернулли и Пуассона.
- •10. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •11. Способы задания закона распред-ния дискретных св. Их св-ва.
- •12. Способы задания закона распред-ния непрерывных св. Св-ва.
- •29. Закон больших чисел. Неравенство Маркова.
- •30. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
- •31. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
- •32. Закон больших чисел. Теорема Бернулли.
- •43. Стат. Гипотеза. Общая схема её проверки. Ошибки 1 и 2 рода.
- •17. Тип.Зр непр.Случ.Величин. Равномерный закон распределения.
- •18. Тип.Зр непр. С.В. Показательный закон распред-ия.
- •19. Тип. Зр непр. С.В. Нормальный закон распределения.
- •20. Точные законы распред. С.В. Распред-е Пирсона (хи-квадрат).
- •37. Общие сведения о выборочном методе.
- •38. Точечная оценка параметров распред-ия. Требования к ф-иям выборки.
- •39. Понятие интервальной оценки параметров распред. Доверит. Интервал для неизвестного мат. Ожидания.
- •5. Совместные и несовместные события. Теорема слож-ия вер-тей.
- •7.Полная группа событий. Формула полной вероятности.
- •6. Зависимые и независ. События. Теорема умножения вер-тей.
- •8.Формула Байеса переоценки вер-тей гипотез. Её практич. Значение.
- •25. Плотность вер-ти двумерной с.В.
- •26. Условные законы распределения двумерной с.В.
- •27.Числовые характер-ки двумерной с.В.
- •28. Ковариация и коэффициент корреляции.
- •2. Относительная частота события (очс). Теорема Бернули.
- •3.Классич. Опред-ие вер-ти события. Формулы комбинаторики.
- •4. Геометрическое определение вероятности события.
- •23. Понятие двумерной дискретной св и таблица её распред-ия.
- •24. Функция распред-ия двумерной с.В.
- •41.Понятие интерв-ной оценки параметров распред-ия. Доверит. Интервал для неизвест. Вер-ти для умеренно больших выборок.
- •13. Математич. Ожидание случайных величин. Основные свойства.
- •14. Дисперсия случайных величин. Основные свойства.
- •15. Тип. Законы распред-ия дискрет. C.В. Бином. Закон распред-ия.
- •16. Тип. Законы распред-ия дискретных с.В. Распред-ие Пуассона.
- •34. Интегральная предельная теорема. Теорема Ляпунова.
- •35. Предмет мат. Статистики. Осн. Функция мат. Статистики.
- •36. Основные понятия математической статистики.
- •42. Понятие интерв-ной оценки параметров распред-ия. Доверит. Интервал для неизвест. Вер-ти для малых выборок.
- •45. Проверка гипотезы о равенстве средних двух совокупностей при известных дисперсиях.
- •44. Проверка гипотезы о равенстве средних двух совокупностей при неизвестных дисперсиях.
- •46. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух совокупностей.
- •45. Проверка гипотезы о равенстве средних двух совокупностей при известных дисперсиях.
- •44. Проверка гипотезы о равенстве средних двух совокупностей при неизвестных дисперсиях.
- •46. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух совокупностей.
- •47. Гистограмма распред-ия.
- •48. Проверка гипотезы о соответствии эмпирич. Закона распред-ия теоретич.
- •39. Понятие интерв-ной оценки параметров распред-ия. Доверит. Интервал для неизвест. Мат. Ожидания.
- •40. Понятие интерв-ной оценки параметров распред-ия. Доверит. Интервал для дисперсии.
9. Формула Бернулли и Пуассона.
Рассмотрим событие А, кот. может наступить с вероят-тью р в каждом из n испытаний. При чем вероят-ть наступления события А не зависит от его наступления в предыдущих испытаниях. Такие испытания принято называть независимыми.
Теорема Бернулли. Если вероят-ть наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероят-ть того, что событие А наступит m раз в серии из n независимых испытаний равна:
, (1-p) = q ;
Док-во: n=3 m=2 В-в 3-ех независ. испытаниях событие А наступило 2 раза. А1-событие А наст. в 1-ом испытании; А2-во 2-ом испытании; А3-в 3-ем испытании.
По условию
Теорема Пуассона. Если вероят-ть p наступления события А в каждом испытании постоянна и стремится к 0 при неограниченном увеличении числа испытаний . При чем , то вероят-ть того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях равна: ;
Док-во: Пусть даны вер-ть наступления события А в одном испытании р и число независ. испытаний n. Обозначим . Откуда . Подставим в формулу Бернулли:
При достаточно большом n и сравнительно небольшом m, все скобки, за искл. предпослед, можно принять равным единице, т.е.
Учитывая то, что n достаточно велико, правую часть можно рассмотреть при , т.е. найти предел.
. Получим
10. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Локальная теорема. Если вероят-ть р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлично от 0 и 1, то вероят-ть того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе испытаний
, где
;
Интегральная теорема. Если вероят-ть р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероят-ть того, что число m наступления события A заключено в пределах [a;b] при достаточно большом числе независимых испытаний
,
где ;
; ;
Теорема Муавра-Лапласа применима для случая, когда
11. Способы задания закона распред-ния дискретных св. Их св-ва.
Случайной наз. величина, кот. в рез-те испытания принимает то или иное значение, заранее неизвестно какое именно.
Различают дискретные и непрерывные СВ.
СВ наз. дискретной, если она принимает изолированные друг от друга возможные значения, число кот. может быть как конечным, так и бесконечным.
Ряд распред-ния дискретной СВ – это табл., состоящая из 2-ух строк, в одной из кот. указаны возможные значения указанной величины, во 2-ой – соответствующие им вероятности.
События образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей будет равна 1.
Ф-ия распределения СВ обозначается F(x). Наз. вероят-ть того, что СВ Х принимает значение находящееся левее х.
Св-ва: 1) F(x) – неубывающая ф-ия, т.е. х2 > x1 F(x2) > F(x1);
2) F(- )=0; 3) F( )=1;