- •Содержание
- •Глава 1. Вероятность событий
- •§1. Пространство элементарных исходов. Операции над событиями. Отношения между событиями.
- •Операции над событиями.
- •Свойства операций над множествами
- •Задачи для самоконтроля к §1
- •§ 2 Классическое определение вероятности. Основные свойства вероятности.
- •§ 3 Основные формулы комбинаторики.
- •3.1 Принцип (правило) умножения.
- •3.2 Перестановки.
- •3.3 Размещения.
- •3.4 Сочетания.
- •3.5 Гипергеометрическое распределение.
- •§4 Общее определение вероятности.
- •Геометрические вероятности
- •Задание вероятности на дискретном пространстве элементарных исходов
- •Задачи для самоконтроля к §2,3,4
- •§5 Условная вероятность
- •§6 Независимость событий.
- •Задачи для самоконтроля к §5, 6
- •§7 Формула полной вероятности.
- •§8 Формула Байеса.
- •Задачи для самоконтроля к §7, 8
- •§9 Последовательность испытаний (схема Бернулли ).
- •Задачи для самоконтроля к §9
- •§ 10 Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •10.1 Локальная теорема Муавра – Лапласа.
- •10.2 Интегральная теорема Муавра – Лапласа.
- •10.3 Формула Пуассона (формула редких событий).
- •10.4 Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
- •Задачи для самоконтроля к §10
- •Глава 2 Случайные величины.
- •§1 Случайные величины и функция распределения.
- •§2 Дискретные случайные величины.
- •2.1 Ряд распределения.
- •2.2 Функция распределения дискретной с.В.
- •2.3 Математическое ожидание дискретной случайной величины.
- •2.4 Дисперсия.
- •Задачи для самоконтроля к §2
- •§3 Важнейшие дискретные случайные величины
- •Биномиальное определение
- •Геометрическое распределение
- •Распределение Пуассона
- •Задачи для самоконтроля к §3
- •§4 Непрерывные случайные величины.
- •4.1 Плотность распределения
- •4.2 Математическое ожидание и дисперсия непрерывной с.В.
- •4.3 Квантиль.
- •Задачи для самоконтроля к §4
- •§5 Важнейшие непрерывные случайные величины.
- •5.1 Равномерное распределение
- •5.2 Экспоненциальное ( показательное) распределение
- •5.3 Нормальное распределение.
- •Задачи для самоконтроля к §5
- •§6 Двумерные случайные величины.
- •6.1 Дискретная двумерная случайная величина.
- •6.2 Функция распределения двумерной случайной величины.
- •6.3 Непрерывные двумерные случайные величины.
- •§7 Ковариация и корреляция.
- •Задачи для самоконтроля к §6, 7
- •§8 Задача о наилучшем линейном прогнозе.
- •Задачи для самоконтроля к § 8
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Литература
Задачи для самоконтроля к §2
1. Измерительных комплекс состоит из трёх одинаковых приборов, отказы которых происходят независимо друг от друга. Вероятность отказа прибора в течение суток 0,2. Случайная величина – число отказавших приборов. Построить ряд распределения этой случайной величины, найти функцию распределения, мат. ожидание, дисперсию и вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3,5).
2. В партии из пяти изделий содержатся два бракованных. Для проверки контролёр берёт наугад одно изделие из партии и проверят его качество. Если оно окажется бракованным, дальнейшие проверки прекращаются, а партия задерживается. Если изделие не бракованное, контролёр берёт следующее и т.д. Случайная величина – количество проверенных изделий. Построить ряд распределения, найти функцию распределения, мат. ожидание и дисперсию. Какова вероятность того, что придётся проверять больше двух изделий?
§3 Важнейшие дискретные случайные величины
Распределение Бернулли.
Проводится одно испытание, в котором два исхода: “успех” и “неуспех”.
Вероятность успеха обозначим р, вероятность неуспеха q =1–р.
Пусть С.В. ξ принимает значение 1 (соответствует успеху) и 0( соответствует неуспеху). Ряд распределения для такой с.в.:
ξ |
0 |
1 |
вероятность |
1 - р |
р |
Найдём мат.ожидание и дисперсию:
Мξ = 0× (1 – р) +1× р = р
Dξ = M(ξ)² – (Мξ)² = р – р² = р(1 – р) = рq.
Биномиальное определение
Проводится n испытаний по схеме Бернулли, p – вероятность успеха в одном испытании, q=1–р. С.в. ξ – число успехов при n испытаниях. Такая с.в. может принимать значения 0,1,2,… n. Параметрами такого распределения являются р и n, где 0 ≤ р ≤ 1, n – целое положительное число. Вероятности для ряда распределения этой с.в. вычисляются как
, k = 0,1,...n
Утверждение. Для с.в., подчиняющейся биномиальному распределению,
Мξ = n ∙ q и Dξ = n× q× p.
Доказательство:
Пусть ξ –число успехов при n испытаниях. Введём случайные величины
ξi –результат i-го испытания, т.е ξi подчиняется распределению Бернулли.
Тогда ξ = ξ1 + ξ2 +…..+ ξn
Mξ = Mξ1 + Mξ2 +…..+ Mξn = p + p + ……+p = np
Dξ = D(ξ1 + ξ2 +…..+ ξn) = Dξ1 + Dξ2 +…..+ Dξn = npq
Пример 1. В некотором городе среди жителей 20% близоруких. Сколько в среднем будет близоруких среди двухсот случайно отобранных человек?
Решение: Пусть ξ – количество близоруких среди 200 отобранных человек. Это дискретная с.в., подчиняющаяся биномиальному распределению с параметрами р=0,2 ( “успех” – человек близорукий) и n=200. “В среднем” – значит, надо найти мат. ожидание этой с.в.
М ξ= n × p=200 × 0,2=40. Т.е. в среднем 40 человек из 200 будут близорукими.
Геометрическое распределение
Проводятся испытания по схеме Бернулли до первого успеха. Вероятность успеха в одном испытании р. С.в. ξ – количество испытаний. Такая с.в. может принимать значения 1,2,…∞. Вероятности для ряда распределения
рk=P{x =k} = p× qk-1.
Параметром этого распределения является вероятность успеха р, 0 ≤ р ≤ 1.
Для с.в., подчиняющейся геометрическому распределению
Пример 2. Для некоторого “баскетболиста” вероятность попадания в корзину при броске из центра площадки, равна 0,2. Он решил бросать мяч до первого попадания. Сколько в среднем бросков потребуется? Какова вероятность того, что потребуется 3 броска?
Решение:
С.в. ξ – количество бросков до первого попадания – подчиняется геометрическому распределению с параметром р=0,2. Найдём мат. ожидание:
М ξ=1/p=1/0,2=5. т.е. до первого попадания в среднем будет 5 бросков.
Р{потребуется 3 броска}=P{ ξ =k}=0,2× (1– 0,2)3-1= 0,2× 0,82= 0,128.