Упражнения.
-
Дайте прямое описание непрерывных отображений стрелки в стрелку.
2. Пусть - отображение множества неотрицательных чисел в , определяемое
формулой
и пусть – его подотображение. Снабдим и топологией, индуцированной топологией прямой. Непрерывны ли отображение и отображение, обратное к отображению ?
3. Доказать, что если - последовательность непрерывных отображений и fn равномерно сходятся к (-метрическое пространство), то непрерывно.
4. Доказать, что любое сжимающее отображение метрического пространства непрерывно.
5. Постройте пример непрерывной биекции, не являющейся гомеоморфизмом.
6. Постройте непрерывную биекцию , не являющуюся гомеоморфизмом.
7. Пусть - гомеоморфизм. Докажите, что открыто (в ) тогда и только тогда, когда открыто (в ).
8. Доказать, что - гомеоморфизм тогда и только тогда, когда - биекция и определяет биекцию между топологическими структурами пространств и .
9. Пусть - гомеоморфизм. Докажите, что для любого :
а) замкнуто в тогда и только тогда, когда замкнуто в ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) есть окрестность точки тогда и только тогда, когда - окрестность точки .
10. Докажите, что всякое невырожденное аффинное преобразование пространства
является гомеоморфизмом.
11. Докажите, что биекция является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда она монотонная функция.
12. Докажите, что любая биекция антидискретного пространства на себя является
гомеоморфизмом, и что то же самое верно для дискретного пространства и для прямой с топологией Зарисского.
13. Докажите, что любая непрерывная биекция стрелки в себя является гомеоморф-измом.
14. Постройте два гомеоморфных пространства и и непрерывную биекцию , не являющуюся гомеоморфизмом.
15. Докажите, что следующие плоские фигуры гомеоморфны:
а) вся плоскость ;
б) открытый квадрат ;
в) открытая полоса ;
г) полуплоскость ;
д) открытая полуполоса ;
е) открытый круг ;
ж) открытый прямоугольник ;
з) открытый квадрант ;
и) - плоскость с разрезом по лучу .
16. Докажите, что :
а) замкнутый круг гомеоморфен квадрату ;
б) открытый круг гомеоморфен открытому квадрату ;
в) окружность гомеоморфна контуру квадрата .
17. Докажите, что
а) любое ограниченное замкнутое выпуклое множество плоскости с непустой
внутренностью гомеоморфно ;
б) любое ограниченное открытое выпуклое множемтво плоскости гомеоморфно
плоскости;
в) граница любого ограниченного выпуклого множества плоскости, имеющего
непустую внутренность, гомеоморфна окружности.
18. Докажите, что любая замкнутая несамопересекающаяся ломаная в (и в с ) гомеоморфна окружности .
19. Докажите, что кофейная чашка (с добротной ручкой) гомеоморфна бублику.
20. Поделите следующий набор предметов на классы гомеоморфных: кофейная чашка,
блюдце, стакан, ложка, вилка, нож, тарелка, монета, гвоздь, винт, болт, чайка,
шайба, шуруп, обручальное кольцо, сверло, цветочный горшок (с отверстием в
донышке ), ключ.
21. В шаровом слое (промежутке между двумя концентрическими сферами ) просверлили цилиндрическое отверстие, соединяющее граничные сферы. Докажите, что оставшаяся часть гомеоморфна шару .
22. Постройте два негомеоморфных пространства и , для которых существуют непрерывные биекции и .
23. Доказать, что эллипсоид гомеоморфен сфере .
24. Доказать, что шар и верхнее полушарие сферы гомеоморфны.
25. Гомеоморфны ли отрезок и буква Т?
26. Доказать, что интервал гомеоморфен прямой . Доказать, что любые два интервала гомеоморфны.
27. Гомеоморфны ли шар и сфера?
28. Доказать, что интервал и открытый квадрат не гомеоморфны.
-
Доказать, что лист Мебиуса не гомеоморфен прямому произведению отрезка на
окружности.
30. Доказать, что множество всех прямых на евклидовой плоскости гомеоморфно
листу Мебиуса.