- •Практические занятия по предмету “Теории вероятностей и математическая статистика” 2-курс, направление математика, (рус.Гр.)
- •2.2 Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Пусть требуется изучить множество объектов относительно некоторого качественного или количественного признака.
- •Решение типовых примеров:
- •Гистограмма частот
- •Задания для закрепления:
- •Построить гистограмму частот.
- •Структура денежных доходов и удельный вес расходов в денежных доходах населения (в процентах к денежным доходам) по годам
- •Точечные оценки
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Критерия согласия Пирсона
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
Решение типовых примеров:
Пример 1. Пусть дискретная величина имеет ряд распределения:
i |
/4 |
/2 |
3/4 |
|
p i |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
Построить ряд распределения случайной величины .
Решение. Случайная величина принимает значения , где с вероятностями p i . Следовательно ее закон распределения
i |
|
1 |
|
0 |
p i |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
Так как функция на отрезке не монотонна и ее значения в точках равны, то, в этом случае столбцы с равными значениями объединим в один столбец, а соответствующие вероятности сложим. Тем самым закон распределения имеет следующий вид:
i |
0 |
1 |
|
p i |
0,1 |
0,4 |
0,5 |
Пример 2. Задана - плотность распределения случайной величины , возможные значения которой заключены в интервале (а;b). Найти плотность распределения случайной величины .
Решение. Так как функция дифференцируема и строго возрастает, то применима формула:
.
Найдем функцию , обратную к : .
Найдем : .
Найдем производную функции : .
Подставляя полученные результаты в формулу: , найдем искомую плотность распределения: .
Пример 3. Случайная величина Х распределена равномерно в интервале . Найти плотность распределения случайной величины .
Решение: Найдем дифференциальную функцию fX(x) случайной величины Х: в интервале мы имеем:
;
и вне этого интервала f(x)=0.
В нашем примере . Найдем из уравнения обратную функцию . Так как в интервале функция не монотонна, то разобьем этот интервал на интервалы и , в которых эта функция монотонна. В интервале обратная функция ; в интервале обратная функция . Искомая плотность распределения может быть найдена по равенству:
.
Найдем производные обратных функций :
Найдем модули производных:
Учитывая, что , получим , . Откуда искомая плотность равна:
Так как , причем , то -1 < y < 1. Таким образом, в интервале (-1;1) искомая плотность вероятностей равна , вне этого интервала .
Задания для закрепления:
-
Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения . Построить ряд распределения случайной величины .
-
1
3
5
р
0,4
0,1
0,5
Ответ:
-
1
9
15
р
0,4
0,1
0,5
2. Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения . Построить ряд распределения случайной величины .
-
/4
/2
3/4
р
0,2
0,7
0,1
Ответ: 1
р 0,3 0,7
3. Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения. Построить ряды распределения случайных величин и .
-
-2
-1
0
1
2
р
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
Ответ:
1 2 5 0 1 2
р 0,3 0,5 0,2 р 0,3 0,5 0,2
-
Непрерывная случайная величина имеет плотность . Найти плотность вероятности случайной величены .
Ответ:
-
Случайная величина распределена по нормальному закону с плотностью вероятности . Найти плотность вероятности обратной к ней величины .
Ответ: ;
При y=0 плотность имеет разрыв 2-го рода.
-
Случайная величина имеет показательное распределение с плотностью вероятности . Найти функцию распределения и плотность вероятности случайной величины .
Ответ:
-
Случайная величина распределена равномерно в интервале . Найти плотность вероятности случайной величины .
Ответ: , при -1 < y < 1.
Вне интервала (-1;1) равна нулю.
-
Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Найти плотность вероятности случайной величины .
Ответ:
-
Задана плотность вероятности f(x) случайной величины Х, возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность вероятности случайной величины Y, если
Ответ: .
-
Задана плотность вероятности f(x) случайной величины Х, возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность вероятности случайной величины Y, если
Ответ:
8-Занятие. Математическое ожидание, дисперсия и их свойства.
Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности :
.
Если случайная величина принимает четное множество возможных значений, то .
Свойства математического ожидания:
-
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: MC=C.
-
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ)=С МХ.
-
Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х+Y)=MX+MY .
-
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(ХY)=МХ МY.
Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг среднего значения служат дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения: .
Для дискретной случайной величины дисперсия определяется как:
Дисперсия обладает следующими свойствами:
-
Дисперсия постоянной величины равна нулю: DC=0.
-
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(СХ)=С 2 DХ.
-
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсией ожиданий слагаемых: D(Х+Y)=DX+DY
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии: .