- •ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •Глава 1 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
- •§1. Понятие вектора*
- •§2. Линейные операции над векторами
- •§3. Понятие линейного пространства
- •§4. Линейная зависимость и независимость системы n векторов
- •§5. Примеры линейно зависимых и линейно независимых систем векторов
- •§6. Базис. Координаты* вектора в базисе
- •§7. Действия над векторами в координатах
- •§8. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат
- •§9. Проекция вектора на ось
- •§10. Направляющие косинусы вектора
- •§11. Скалярное произведение векторов
- •§12. Евклидово пространство*: основные понятия
- •§13. Векторное произведение векторов
- •§14. Смешанное произведение векторов
- •§15. Двойное векторное произведение
- •1. Векторы: длина вектора, координаты вектора, направляющие косинусы вектора
- •2. Линейные операции над векторами
- •3. Скалярное произведение векторов
- •4. Векторное произведение векторов
- •5. Смешанное произведение векторов
- •ТИПОВОЙ ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Задача 10. Даны три вектора a 7i 4 j , b i 2 j 6k и c 8 j 3k . Вычис-
лить прa (c 2b) .
Решение. Введемобозначение c 2b d и вычислим координаты вектора d : d {c1 2 b1, c2 2 b2 , c3 2 b3},
d {0 2 ( 1), 8 2 2, 3 2 6} { 2, 4, 15}.
Запишем формулу (11.6) для вычисления проекции вектора на вектор для нашего случая:
прa d aad a1 d1 a2 d2 a3 d3 ,
a12 a22 a32
пр |
|
|
|
|
7 ( 2) ( 4) ( 4) 0 |
|
30 |
|
6 65 . |
|
d |
||||||||
|
|
72 ( 4)2 |
65 |
||||||
a |
|
|
13 |
||||||
|
|
|
|
|
Ответ: пр d 6 65 .
a |
13 |
|
4. Векторное произведение векторов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5, |
|
|
2 |
^ |
|
) |
|
|
||
Задача 1. Данывекторы |
a |
и |
|
|
|
, причем |
a |
|
b |
|
и ( |
a |
, |
b |
. Найдите: |
||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
; 2) |
|
(2 |
|
|
|
) ( |
|
2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a |
b |
a |
b |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1) согласно п.1 определения13.2 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b a b sin 5 2 sin 30 10 0,5 5 ;
2) воспользовавшись свойствами 1–4 векторного произведения и результатами предыдущего пункта, находим:
(2a b) (a 2b) 2a a 4a b b a 2b b 4a b a b 5 a b 25 .
Ответ:1) a b 5 , 2) (2a b) (a 2b) 25 .
Задача 2. Найти a b , если a 7i 3 j 5k , b 2i 4 j 3k .
59
|
|
|
|
|
|
Решение. Координаты векторного произведения векторов |
a |
|
|
и |
b |
находятся по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
формуле (13.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
a2 |
|
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
b2 |
|
b3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
( 1)2 |
|
3 |
5 |
|
|
|
|
( 1)3 |
|
|
7 |
5 |
|
|
|
|
( 1)4 |
|
7 |
|
|
|
3 |
|
29i 11 |
|
|
34 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
i |
j |
k |
|
j |
k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
{29, 11, 34}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Задача 3. Найти векторное произведение векторов (3 |
|
|
4 |
|
) (2 |
|
5 |
|
) , если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
b |
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i 2 j 10k, |
|
5i 4 j 7k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1-й |
способ. Упрощаем выражение |
(3 |
|
4 |
|
) (2 |
|
5 |
|
) , |
|
воспользовавшись |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
b |
a |
b |
|
свойствами векторного произведения:
(3a 4b) (2a 5b) 6a a 15a b 8b a 20b b 15a b 8a b 7a b .
|
|
|
|
Находим координаты вектора |
|
|
|
|
|
. Для этого составляем |
и вычисляем опре- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
делитель: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
k |
|
|
i ( 1)2 |
|
2 10 |
|
|
|
|
|
( 1)3 |
|
1 10 |
|
|
|
|
|
|
( 1)4 |
|
1 2 |
|
54i 57 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
j |
k |
j |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
4 |
|
7 |
|
|
|
|
4 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Таким образом, (3 |
|
4 |
|
) (2 |
|
5 |
|
) 7(54 |
|
57 |
|
|
6 |
|
) 378 |
|
399 |
|
42 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
b |
a |
b |
i |
j |
k |
i |
j |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2-й способ. Находим координаты векторов (3 |
|
4 |
|
) и (2 |
|
5 |
|
) : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
b |
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
{3 1 4 5, |
3 2 4 4, |
3 ( 10) 4 7} {23, 22, 2}, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
{2 1 5 5, |
2 2 5 4, |
2 ( 10) 5 7} {27, 24, 15}. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
Вычисляем (3a 4b) (2a 5b) , составив определитель:
60
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
|
k |
|
i |
|
22 |
2 |
|
|
|
23 |
2 |
|
|
|
23 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(3 |
|
4 |
|
) (2 |
|
5 |
|
) |
23 |
22 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
b |
a |
b |
j |
k |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
24 |
15 |
|
|
24 |
15 |
|
|
|
27 |
15 |
|
|
|
27 |
24 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
378i 399 j 42k .
Ответ: (3a 4b) (2a 5b) {378, 399, 42}.
Задача 4. Вектор x , перпендикулярный векторам a {2,3,1} и b {5,9,5},
образует с осью Oz острый угол. Найти координаты вектора x , зная, что
x 2 70.
Решение. 1. Вектор, перпендикулярный векторам a и b , согласно п. 2 определения 13.2, коллинеарен их векторному произведению, т.е. x a b . Следова-
тельно, их координаты пропорциональны. Находим координаты a b :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
3 |
1 |
6 |
|
5 |
|
3 |
|
. |
|||||
a |
b |
i |
j |
k |
|||||||||||||||
|
5 |
9 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, координаты вектора |
|
{6k, 5k, |
3k}, k R . |
||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||
2. Находим коэффициент пропорциональности k , |
|
|
|
|
|
|
2 70. |
||||||||||
учитывая, что |
x |
|
|||||||||||||||
Составляем и решаем уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(6k)2 ( 5k)2 |
(3k)2 2 70, |
||||||||||||||||
36k 2 25k 2 |
9k 2 |
2 |
70, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
70k 2 2 |
70, |
: |
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
k |
|
2 |
k 2 . |
|
|
|
2 { 12,10, 6}, которые |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Итак, мы получили два вектора |
|
1 {12, 10, 6}, |
|
|
|||||||||||||
x |
x |
имеют заданную длину и перпендикулярны векторам a и b .
3. Искомый вектор x должен образовывать с осью Oz острый угол. Возьмем любой вектор, лежащий на оси Oz и имеющий с ней одинаковое направление, например вектор k {0,0,1}, и воспользуемся геометрическим смыслом скалярного произведения:
61
(k x) 900 k x 0 . Легко видеть, что этому условию удовлетворяет вектор
x1 {12, 10, 6}.
Ответ: x {12, 10, 6}.
Задача 5. Даны точки A(2, 1, 5), B(–7, 4, 3), C(0, 8, 9). Найти площадь треугольника АВС и длину его высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.
Решение. 1. Площадь треугольника АВС, построенного на векторах AB и AC , равна половине площади параллелограмма, построенного на тех же векторах. Вос-
пользуемся геометрическим смыслом векторного произведения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S ABC |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Для того чтобы произвести вычисления по указанной формуле, находим коор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
динаты векторов |
|
, |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
AB |
AC |
|
AB |
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ 9, 3, 2}, |
|
|
|
|
|
{ 2, 7, 4}, |
|
|
|
|
|
9 |
3 |
2 |
26 |
|
40 |
|
57 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
AB |
AC |
AB |
AC |
i |
j |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
S ABC 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
262 |
402 ( 57)2 |
1 |
|
5525 2,5 221 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
AB |
AC |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Для того чтобы найти высоту AH, опущенную из вершины А на сторону ВС, воспользуемся известной из школьного курса геометрии формулой для вычисления площади треугольника:
S ABC 12 AH BC .
Откудасучетомп.1 имеем
AH |
2S ABC |
|
AB |
|
AC |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
BC |
|
BC |
|
|
Вычисляемдлинувектора BC {7, 4, 12}:
BC 72 42 ( 12)2 209 .
Окончательнополучим
AH 5209221 5 209221 5,14 .
62