- •1. Случайные события
- •1.1. Понятие теории вероятностей
- •1.2. События и их вероятности
- • Виды событий
- • Вероятность события
- • Принцип практической невозможности маловероятных событий
- • Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу,
- •1.3. Элементы комбинаторики
- • Перестановки, сочетания и размещения без повторений
- • Перестановки
- • Размещения
- • Правило сложения и правило умножения комбинаций
- • Перестановки, сочетания и размещения с повторениями
- • Сочетания с повторениями
- • Размещения с повторениями
- •1.4. Классическое определение вероятности:
- •1.5. Геометрическое определение вероятности
- •1.6. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- • Зависимые и независимые события
- • Теорема умножения вероятностей независимых событий
- • Задачи на теоремы сложения и умножения
- • Условная вероятность
- • Теорема умножения вероятностей зависимых событий
- •1.7. Формула полной вероятности
- •1.8. Формулы Байеса
- •1.9. Независимые испытания и формула Бернулли
- •1.10. Формула Пуассона
- •1.11. Локальная теорема Лапласа
- •1.12. Интегральная теорема Лапласа
- •1.13. Статистический подход к определению вероятности
- • и обратная задача
- •2. Случайные величины
- •2.1. Понятие и виды случайных величин
- •2.2. Дискретная случайная величина
- • Математическое ожидание дискретной случайной величины
- • Формула для нахождения дисперсии
- • Многоугольник распределения
- • Вероятность попадания в промежуток
- •2.3. Наиболее распространённые дискретные распределения
- • Биномиальное распределение вероятностей
- • Гипергеометрическое распределение вероятностей
- •2.4. Непрерывная случайная величина
- • Вероятность попадания в промежуток
- • функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей
- •2.5. Распространённые виды непрерывных распределений
- • Равномерное распределение вероятностей
- • Показательное распределение вероятностей
- • Нормальный закон распределения вероятностей
- •Решения и ответы
Стандартная задача для самостоятельного решения:
Задача 26
В ящике находится 15 качественных и 5 бракованных деталей. Наудачу извлекаются 2 детали. Найти вероятность того, что:
а) обе детали будут качественными; б) одна деталь будет качественной, а одна – бракованной; в) обе детали бракованны.
События перечисленных пунктов образуют полную группу, поэтому проверка здесь напрашивается сама собой.
И ещё одна задача, которая не только популярна, но и актуальна для многих читателей. Когда она мне попадается на глаза, то я всегда думаю: «чего же он так много выучил-то?!». Поэтому сделаю пример более реалистичным :=)
Задача 27
Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на 2 из 3 вопросов?
Узнайте, насколько велики ваши шансы И, конечно же, эти шансы нужно всячески увеличивать, едем дальше:
1.5. Геометрическое определение вероятности
Классическое определение вероятности оказывается эффективным для решения целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом ограничений. Одним из таких ограничений является тот факт, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. Простейший пример:
На отрезок 0;1 наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что она попадёт в промежуток 0,4; 0,7 ?
Поскольку на отрезке бесконечно много точек, то здесь нельзя применить формулу
P( A) mn (ввиду бесконечно большого значения «эн») и поэтому на помощь приходит другой подход, называемый геометрическим определением вероятности:
Вероятность наступления некоторого события A в испытании равна отношению
P( A) Gg , где G – геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и
равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество
благоприятствующих событию A исходов.
На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже – объём.
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
34 |
|
Рассмотрим событие: A – брошенная на отрезок 0;1 точка, попала в промежуток0,4; 0,7 . Очевидно, что общее число исходов выражается длиной бОльшего отрезка:
L 1 0 1 ед. , а благоприятствующие событию A исходы – длиной вложенного отрезка: l 0,7 0,4 0,3 ед. По геометрическому определению вероятности:
P( A) |
l |
|
0,3 ед. |
0,3 |
||
L |
1 ед. |
|
||||
|
|
|
Примечание: ед. – метрические единицы: метры, сантиметры или какие-то др.
Слишком просто? Как и в случае с классическим определением, это обманчивое впечатление. Обстоятельно и добросовестно разбираемся в практических примерах:
Задача 28
Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.
Решение: «чего тут сложного? Вероятность равна 15 ». Это автоматическая ошибка,
которую допускают по небрежности. Да, совершенно верно – длина обрезка составит не менее 80 см, если от ленты отрезать меньше 20 сантиметров. Но здесь часто забывают, что искомый разрез можно сделать как с одного конца ленты, так и с другого:
Рассмотрим событие: A – длина обрезка составит не менее 0,8 м.
Поскольку ленту можно разрезать где угодно, то общему числу исходов соответствует её длина: L 1 м. Благоприятствующим исходам соответствуют участки,
отмеченные красным цветом, и их суммарная длина равна: l 0,2 0,2 0,4 м. По геометрическому определению:
P( A) |
l |
|
0,4 м |
0,4 |
|
L |
1 м |
||||
|
|
|
Ответ: 0,4
Какой можно сделать вывод?
Даже если задача кажется вам очень простой, НЕ СПЕШИТЕ
При оформлении задач следует обязательно указывать размерность (единицы,
метры, квадратные единицы, квадратные метры и т.д.). Кстати, обратите внимание, что на финальном этапе вычислений геометрическая мера сокращается. Так в рассмотренном примере, сократились метры:
, в результате чего получилась привычная безразмерная вероятность.
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
35 |
|
Следующая задача для самостоятельного решения:
Задача 29
После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошёл между 50-м и 55-м километрами линии?
Значительно чаще встречаются примеры, в которых фигурируют площади:
Задача 30
В треугольник со сторонами a 9, b 13, c 16 вписан круг. Точка M произвольно ставится в треугольник. Найти вероятность того, что точка попадёт в круг.
Вспоминаем геометрию: вписанный круг лежит внутри треугольника и касается его сторон в трёх точках. …Представили? Отлично!
Решение: поскольку точка ставится в треугольник, а круг лежит внутри, то общему числу исходов соответствует площадь треугольника, а множеству благоприятствующих исходов – площадь вписанного круга.
Осталось вспомнить или отыскать (проще всего в Сети) школьные геометрические формулы. Если даны длины сторон треугольника, то его площадь удобно найти по
формуле Герона:
ST |
... , где a, b, c – длины сторон треугольника, а p – полупериметр. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сначала вычислим полупериметр треугольника: |
p |
a b c |
|
9 13 16 |
19 ед. , а |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
затем его площадь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
S |
|
|
|
19 (19 9) (19 13) (19 16) |
19 10 6 3 6 |
95 ед.2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь круга найдём по известной формуле S |
K |
|
r2 |
. Если круг вписан в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
треугольник, то его радиус можно рассчитать по формуле r |
|
ST |
, этого я не вообще не |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||
знал – только что нашёл в Интернете. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Итак, площадь вписанного круга: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S 2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95 |
|
36 95 |
|
|
180 |
ед.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
S |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
19 |
2 |
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
По геометрическому определению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
ед.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p |
SK |
|
|
19 |
|
... – вероятность того, что точка M попадёт во вписанный |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
S |
|
6 95 ед.2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T
круг.
Ответ: 0,51
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
36 |
|
Более простой пример для самостоятельного решения:
Задача 31
Вкруге радиуса 10 см находится прямоугольный треугольник с катетами 12 и 7 см.
Вкруг наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник.
Следует отметить, что в этой задаче треугольник вовсе не обязан как-то касаться окружности, он просто расположен внутри круга и всё. Будьте внимательны!
А теперь рассмотрим широко известную задачу о встрече:
Задача 32
Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 19.00 до 20.30. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй – 15 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой?
Решение: сначала выясним длительность временнОго промежутка, на котором могут пересечься автомобили: это 90 минут (коль скоро, от 19.00 до 20.30). Изобразим прямоугольную систему координат, где в подходящем масштабе построим квадрат размером 90 на 90 единиц:
Общему множеству исходов соответствует площадь данного квадрата:
S 902 8100 ед.2
Далее по оси OX от начала координат откладываем время погрузки одного автомобиля (зелёная линия), а по оси OY – время погрузки другого автомобиля (красная линия) (можно наоборот, это не повлияет на решение).
Теперь из правого конца зелёного отрезка и из верхнего конца красного отрезка под углом 45 градусов проводим две линии внутри квадрата (малиновые отрезки).
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
37 |
|
Множеству благоприятствующих исходов (когда автомобили «пересекутся» во
~
времени) соответствует площадь S заштрихованной фигуры. В принципе, её можно вычислить «на пальцах», но технически проще использовать окольный путь, а именно, вычислить площади двух прямоугольных треугольников. Используем формулу:
S12 ab , где a, b – длины катетов.
Внашей задаче: верхний треугольник имеет катеты длиной по 80 единиц, нижний треугольник – по 75 единиц. Обратите внимание, что в общем случае эти треугольники не равны.
Таким образом, суммарная площадь треугольников составляет:
S* 12 80 80 12 75 75 3200 2812,5 6012,5 ед.2
И бесхитростный заключительный манёвр: из площади квадрата вычитаем
площади треугольников, получая тем самым благоприятствующую площадь:
S S S 8100 ...
~ *
По геометрическому определению:
~
p SS ... – вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой.
Ответ: 0,26
Подробное объяснение этого способа решения можно найти, например, в учебном пособии В.Е. Гмурмана, я же остановился лишь на техническом алгоритме, дабы не тратить ваше драгоценное время.
И если в разобранной задаче встреча явно нежелательна, то в следующей, скорее, наоборот. Романтичный эпизод для самостоятельного изучения:
Задача 33
Студенты случайным образом приходят в столовую с 14.00 до 15.00, при этом обед каждого из них занимает примерно 20 минут. Найти вероятность того, что: а) Коля встретится с Олей во время обеда, б) данная встреча не состоится.
Не нужно печалиться по поводу пункта «бэ» – любовь приходит и уходит, а кушать хочется всегда! =)
Решение, чертёж и ответ в конце книги.
Оставшиеся примеры параграфа посвящены не менее распространённому типу задач, где фигурируют неравенства.
Для начала разогревающий пример:
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
38 |
|
Задача 34
В квадрат с вершинами (0; 0), (1; 0), (1; 1), (0; 1) наудачу брошена точка (x ; y) . Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству y 2x .
Решение: изобразим на чертеже искомый квадрат и прямую y 2x :
Общему множеству исходов соответствует площадь квадрата S 1 1 1 ед.2
Прямая y 2x делит квадрат на треугольник и трапецию. Как определить фигуру, которая удовлетворяет условию y 2x ? Вспоминаем линейные неравенства: нужно взять любую точку, не принадлежащую прямой y 2x , например, точку (1; 0) и
подставить её координаты в неравенство:
0 2 1
0 2
Получено верное неравенство, значит, множеству благоприятствующих исходов
~
соответствует площадь S трапеции. Рассчитаем данную площадь как сумму площадей
прямоугольного треугольника и прямоугольника (разделены на чертеже пунктиром):
~ |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
1 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
По геометрическому определению: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
~ |
|
3 |
ед.2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P( y 2x) |
S |
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
– вероятность того, что координаты брошенной в |
||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
1 |
ед. |
4 |
|
||||||
данный квадрат точки удовлетворяют неравенству y 2x . |
||||||||||||||||
Ответ: |
P( y 2x) |
3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
…аналитическую геометрию немного вспомнили, теперь на очереди математический анализ, ибо неравенства бывают не только линейными:
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
39 |
|
Задача 35
Загадываются два числа x и y в промежутке от 0 до 5. Какова вероятность, что
xy 2 ?
Схема решения уже знакома: коль скоро загадываются 2 произвольных числа от нуля до пяти (они могут быть и иррациональными), то общему количеству исходов
соответствует площадь квадрата S 5 5 25 ед.2
Изобразим ветвь гиперболы xy 2 y 2x , которая делит квадрат на две части:
Теперь выясним, какой из этих двух «кусков» удовлетворяет неравенству xy 2 . Для этого выберем любую точку, не принадлежащую гиперболе, проще всего взять (0; 0) ,
и подставим её координаты в наше неравенство:
0 0 2
0 2
Получено неверное неравенство, а значит, условию xy 2 соответствует «верхний
~
кусок», площадь S которого, деваться тут некуда, придётся вычислить с помощью определённого интеграла. Уточним нижний предел интегрирования аналитически
(найдём точку пересечения гиперболы xy 2 |
и прямой y 5 ): |
|
|
|||||||||||||||
xy 2 |
x 5 2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y 5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 расположена не ниже гиперболы y |
2 |
|
||
На отрезке |
|
|
; 5 прямая y |
|
, по |
|||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
соответствующей формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
~ |
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S |
5 |
|
|
dx (5x |
2ln |
x |
) |
2 |
... |
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
25 2ln 5 2 2ln 52 ... 23 2ln 252 ед.2
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
40 |
|