- •1. Система сил на площині
- •1.1.Короткі теоретичні відомості
- •1.2. Довільна система сил
- •1.3. Задачі для самоконтролю
- •2. Кінематичний аналіз плоских систем і визначення реакцій з’єднань
- •2.1.Короткі відомості про кінематичний аналіз
- •2.3. Схеми задач для самостійного розв’язування
- •3. Розрахунок плоских статично визначуваних ферм
- •3.1.Короткі теоретичні відомості
- •3.3. Схеми задач для самостійного розв’язування
- •4. Статично визначувані просторові ферми
- •4.1. Короткі теоретичні відомості
- •4.3. Задачі для самостійного розв’язування
- •5. Розрахунок шарнірно-консольної балки на нерухоме навантаження
- •5.1.Основні теоретичні відомості
- •5.3. Задачі для самостійного розв’язування
- •6. Розрахунок тришарнірних арок
- •6.1 Короткі теоретичні відомості
- •6.3. Схеми задач для самостійного розв’язування
- •7. Статично визначувані рами
- •7.1. Короткі теоретичні відомості
- •7.2.Розрахунок простої рами
- •7.3.Розрахунок складеної рами
- •7.4. Розрахунок рами із замкненим контуром
- •8. Розрахунок на рухоме навантаження
- •8.1. Короткі теоретичні відомості
- •8.2. Лінії впливу для двоопорної балки
- •8.3. Лінії впливу для консольної балки
- •8.4. Навантаження ліній впливу
- •8.5. Лінії впливу для шарнірно–консольної балки
- •8.6. Лінії впливу в фермах
- •8.7. Лінії впливу в шпренгельних фермах
- •8.9. Задачі для самостійного розв’язування
- •9. Обчислення переміщень у стержневих системах
- •9.1. Короткі теоретичні відомості
- •9.6. Задачі для самостійного розв’язування
- •10. Розрахунок статично невизначуваної рами методом сил
- •10.1. Короткі теоретичні відомості
- •10.2. Розрахунок рами методом сил
- •10.3. Розрахунок симетричної рами методом сил
- •10.4. Задачі для самостійного опрацювання
- •11. Статично невизначувані ферми
- •11.1.Короткі теоретичні відомості
- •11.3. Задачі для самостійного опрацювання
- •12. Нерозрізна балка
- •12.1.Основні теоретичні відомості
- •12.2. Розрахунок статично невизначуваної балки на постійне навантаження методом трьох моментів
- •12.3.Розрахунок нерозрізної балки на тимчасові навантаження методом моментних фокусів
- •12.5. Задачі для самостійного опрацювання
- •13. Метод переміщень
- •13.1.Короткі відомості про метод переміщень
- •13.2.Розрахунок несиметричної рами в канонічній формі
- •13.3. Розрахунок несиметричної рами в розгорнутій формі
- •13.4. Розрахунок симетричної рами на симетричне навантаження
- •13.6. Задачі для самостійного опрацювання
- •14. Метод скінченних елементів для стержневих систем
- •14.1.Основні положення методу скінченних елементів
- •14.3. Розрахунок шарнірно-стержневої системи методом скінченних елементів
- •14.4. Схеми для самостійного розв’язування
- •15.Розрахунок рам на стійкість
- •15.1. Короткі теоретичні відомості
- •15.3. Розрахунок на стійкість симетричної рами
- •15.4. Задачі для самостійного розв’язування
- •16. Динамічний розрахунок рам
- •16.1.Короткі відомості про розрахунок на динамічні дії
- •16.4. Задачі для самостійного опрацювання
- •17. Розрахунок стінової панелі методом скінченних елементів
- •17.1. Короткі відомості про розрахунок стінової панелі
- •17.3. Задачі для самостійного розв’язування
- •18. Навчальний програмний комплекс АСИСТЕНТ
- •18.1. Основні характеристики
- •18.2. Запуск комплексу АСИСТЕНТ
- •18.3. Керування роботою комплексу
- •18.4. иконання розрахункових робіт
- •19.1. Основні характеристики
- •19.3. Завантаження ОК SCAD і основні елементи керування
- •19.4. Основні етапи створення розрахункової схеми в ОК SCAD
ДО ЗМІСТУ ПОСІБНИКА
13. Метод переміщень
13.1.Короткі відомості про метод переміщень
13.2.Розрахунок несиметричної рами в канонічній формі
13.3. Розрахунок несиметричної рами в розгорнутій формі
13.4. Розрахунок симетричної рами на симетричне навантаження
13.5. Розрахунок симетричної рами в розгорнутій формі
13.6. Задачі для самостійного опрацювання
13. Метод переміщень
13.1.Короткі відомості про метод переміщень
Метод переміщень є одним з найбільш розповсюджених методів розрахунку стержневих статично невизначуваних систем У багатьох випадках застосування методу призводить до меншої трудомісткості обчислювальних робіт ніж метод сил
рипущення методу переміщень
Метод переміщень рунтується на спрощуючих припущеннях від яких залежить кількість основних невідомих методу
Кути між стержнями які збігаються у жорсткому вузлі не змінюються після деформування споруди е означає що при деформуванні всі кінці стержнів з’єднані між собою в жорсткому вузлі повертаються на однаковий кут Деформаціями від поздовжніх і поперечних сил можна знехтувати
Не береться до уваги зближення кінців стержня внаслідок його згину Довжина проекції стержня на його початковий напрям до і після деформації вважається незмінною
Кути нахилу стержнів внаслідок їх мализни обираються рівними їх тангенсам і синусам і припущення базуються на тому що в реальних стержневих системах переміщення від
пружних деформацій вельми незначні порівняно з розмірами споруди а відтак їх вплив на зміну її розмірів можна не враховувати
Основна система методу переміщень
Основна система методу переміщень утворюється з вихідної системи введенням у її вузли додаткових з’єднань двох видів
Для запобігання повороту жорстких вузлів до них встановлюються так звані рухомі плаваючі затиснення е такі умовні з’єднання які усувають повороти вузлів але не усувають їх поступальні переміщення У таких затисненнях виникає лише одна реакція реактивний момент
орсткими вузлами є місця з’єднання кінців прямолінійних стержнів постійної жорсткості за допомогою припаювання До жорстких вузлів треба віднести точки в яких
з’єднуються без наскрізних шарнірів два або більше стержнів
2
змінюється під кутом напрям осі стержня до стержня приєднується за допомогою прилеглого шарніра інший стержень або кілька стержнів ступінчасто змінюється жорсткість стержня
до жорсткого вузла будь-якого з перелічених типів приєднується шарніром стержень або інший вузол .
Можливі поступальні переміщення вузлів системи виключаються встановленням
додаткових опорних стержнів У таких стержнях виникає лише одна реакція спрямована вздовж стержня сила Кількість додаткових стержнів повинна бути мінімальною але достатньою для забезпечення нерухомості всіх вузлів системи
Додаткові опорні стержні потрібно встановлювати не до всіх вузлів системи а лише до тих що мають незалежні поступальні переміщення Для визначення кількості незалежних поступальних переміщень та місць встановлення необхідних додаткових опорних стержнів доцільно скористатися шарнірною схемою. арнірна схема утворюється введенням наскрізних шарнірів в усі жорсткі вузли вихідної системи включаючи опорні Зауважимо що при створенні шарнірної схеми консолі та інші статично визначувані фрагменти можна відкидати
кщо шарнірна схема геометрично незмінювана то вихідна система не має незалежних поступальних переміщень тобто при створенні основної системи методу переміщень встановлювати додаткові опорні стержні не потрібно
кщо ж у процесі структурного аналізу шарнірної схеми виявляється можливість поступального переміщення якогось вузла необхідно ввести додатковий опорний стержень який перешкоджає появі цього переміщення Мінімальна кількість таких додаткових опорних стержнів визначає кількість незалежних переміщень вузлів вихідної системи При створенні основної системи методу переміщень додаткові опорні стержні необхідно встановлювати саме в цих місцях
Основні невідомі
Переміщення |
які виключаються з’єднаннями накладеними при створенні основної системи |
||
розглядаються як основні невідомі методу переміщень |
|||
Таким чином |
основними невідомими методу переміщень є кути повороту жорстких вузлів |
||
системи |
та |
незалежні поступальні переміщення її вузлів і невідомі позначаються літерами |
|
1, 2 , |
, 1, |
2 , |
тощо при використанні розгорнутої форми методу переміщень чи Z1, Z2 , |
тощо в канонічної формі Кількість основних невідомих методу переміщень називається ступенем кінематичної
невизначуваності системи ї можна визначити за формулою
|
|
|
|
3 |
|
k k |
k , |
|
(13.1) |
де k кількість кутових переміщень жорстких вузлів системи k |
кількість незалежних лінійних |
|||
переміщень її вузлів |
|
|
|
|
Рама рис 13.1,а |
має два проміжних жорстких вузла |
і |
в її шарнірну схему необхідно |
|
ввести один додатковий опорний стержень |
рис 13.1,б |
Отже маємо ступінь кінематичної |
||
невизначуваності k |
Основна система рами зображена на рис 13.1,в. |
Рис 13.1
Система розв’язувальних рівнянь
Основна система буде еквівалентною заданій рамі за умови рівності нулю реакцій в додаткових з’єднаннях я обставина використовується для складання системи розв’язувальних рівнянь
Розв’язувальні рівняння методу переміщень утворюють систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих переміщень яким перешкоджають накладені додаткові з’єднання і можуть бути одержані в канонічній формі або в розгорнутій формі
У канонічній формі система розв’язувальних рівнянь має вигляд
r11Z1 |
r12Z2 |
r1nZn R1 p |
0, |
|
r21Z1 |
r22Z2 |
r2nZn R2 p |
0, |
(13.2) |
|
|
|
|
|
rn1Z1 |
rn2Z2 |
rnnZn Rnp |
0. |
|
Тут Z1, Z2 , , Zn основі невідомі методу переміщень |
пронумеровані підряд rjk реакція |
|||
реактивний момент у рухомому затисненні або реактивна сила у додатковому |
стержні у |
|||
накладеному з’єднанні j основної системи від примусового переміщення Zk 1, R jp |
реакція в |
|||
накладеному з’єднанні j від зовнішнього навантаження |
|
|
4
Система розв’язувальних рівнянь 13. має стандартний канонічний вигляд і називається
системою канонічних рівнянь методу переміщень.
Для визначення коефіцієнтів і вільних членів системи рівнянь 13. необхідно заздалегідь побудувати епюри згинальних моментів в основній системі від одиничних значень основних
невідомих Z1, Z2 , , Zn і від дії зовнішнього навантаження Побудова одиничних і вантажної епюр здійснюється за допомогою даних наведених у таблиці 13.1 та у Додатках .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 13.1 |
|
Схема балки та |
|
|
|
|
Кінцеві |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Епюри |
||||||||||||||
|
навантаження |
|
|
|
|
зусилля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
згинальних моментів |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
Mab 4i, |
Mba 2i; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6i . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Q |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ab |
ba |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
M ab Mba |
|
6i |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
l |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Q |
|
|
Q |
|
|
|
12i |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ab |
|
ba |
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
M ab |
|
Mba |
|
|
ql |
2 |
|
; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Q |
|
Q |
|
|
ql |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
ab |
|
|
|
ba |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
M ab |
Mba |
|
Pl |
; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
8 |
|
|
|
|
|||||||||
|
Q |
|
|
Q |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ab |
|
|
|
ba |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
M ab |
Mba |
|
M |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Q |
|
Q |
|
1,5M |
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
ab |
|
|
|
ba |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
M ab 3i; |
Mba 0; |
|
||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
Q |
|
Q |
|
3i |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
ab |
|
|
ba |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Mab |
|
3i ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mba 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Q |
|
|
Q |
|
|
|
|
3i |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ab |
ba |
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ак н ення аблиц 13.1 |
|
|
|
Схема балки та |
|
Кінцеві |
|
Епюри |
|
||||||
|
|
навантаження |
|
зусилля |
|
згинальних моментів |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ab |
ql2 |
; Mba 0; |
|
|
||||||
|
8 |
|
8 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q 5 ql; Q |
3 ql. |
|
|
|||||||
|
|
|
ab |
8 |
|
|
|
ba |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
M ab |
|
3 |
Pl; Mba |
0; |
|
|
||||
|
9 |
|
16 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||
|
|
|
Q |
P; Q |
P. |
|
|
||||||
|
|
|
16 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
ab |
|
|
ba |
16 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Реакції в додаткових з’єднаннях rjk і |
|
|
Rjp |
обчислюються з умов рівноваги вузлів рами |
|||||||||
реактивні моменти в рухомих затисненнях |
|
або відсічених частин рами реакції в додаткових |
|||||||||||
стержнях При цьому реакції вважаються додатними |
якщо їхні напрями збігаються з напрямами |
примусових переміщень які надавались відповідним вузлам при побудові одиничних епюр
У розгорнутій формі для складання системи розв’язувальних рівнянь використовуються формули що виражають внутрішні зусилля на кінцях статично невизначуваних однопрогонових балок кінцеві зусилля залежно від переміщень опор і зовнішніх навантажень див табл 13.2).
Згинальні моменти вважаються додатними якщо вони діють на вузол навпроти а на стержень
за годинниковою стрілкою рис 13.2,а Додатні поперечні сили обертають і вузол і стержень за годинниковою стрілкою рис 13.2,б Додатні напрями кутів повороту і кутів перекосу стержнів
приймаються в напрямі руху годинникової стрілки
Рис 13.2
Для складання будь-якого розв’язувального рівняння слід прирівняти до нуля реакцію у відповідному додатковому з’єднанні кщо це рухоме затиснення то необхідно вирізати вузол на який було накладене означене затиснення Реактивний момент який визначається як сума кінцевих моментів в усіх стержнях що примикають до вирізаного вузла прирівнюється нулю кщо ж розглядається додатковий опорний стержень то слід відокремити частину рами яка утримується від переміщення означеним стержнем До відокремленої частини необхідно
6
прикласти зовнішні навантаження і поперечні сили в місцях розрізів Реакція в додатковому стержні що визначається з рівняння проекцій прирівнюється до нуля
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 13.2 |
|||
|
|
|
Схема стержня |
|
Кінцеві зусилля |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
Mab 2iab (2 a b 3 ab ) Mab |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Mba 2iab ( a |
2 b 3 ab ) Mba |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Q 6iab |
( |
a |
|
b |
2 |
ab |
) Q |
|
||
|
|
|
|
|
|
ab |
lab |
|
|
|
|
ab |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q 6iab |
( |
a |
|
b |
2 |
ab |
) Q |
|
||
|
|
|
|
|
|
ba |
lab |
|
|
|
|
ba |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Mab 3iab ( a ab ) Mab |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Mba 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q 3iab |
( |
a |
|
ab |
) Q |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ab |
lab |
|
|
|
ab |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q 3iab |
( |
a |
|
ab |
) Q |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ba |
lab |
|
|
|
ba |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У наведених формулах |
ab |
b a |
кут перекосу стержня |
|
додатний |
якщо відбувається за |
||||||||||
|
|
|
|
lab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
годинниковою стрілкою |
Величини доданків Mab , Mba , Mab , Qab , |
Qba , |
Qab , Qba залежать від |
|||||||||||||
зовнішнього навантаження і визначаються з табл 13.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обудова дійсних епюр зусиль
При розв’язанні задачі в канонічній формі дійсна епюра згинальних моментів будується способом накладення епюр у відповідності до формули
|
M M1Z1 M2Z2 |
|
MnZn M . |
(13.3) |
|||
Тут M1, M2 , , Mn |
епюри |
згинальних |
|
моментів в основній |
системі від одиничних |
||
примусових переміщень |
Z1 1, Z2 |
1, |
, Zn 1; |
|
M p епюра згинальних моментів в основній |
||
системі від зовнішнього навантаження |
Z1, Z2 , |
, |
Zn дійсні величини основних невідомих |
У розгорнутій формі попередньо будується епюра вузлових моментів Останні визначаються за формулами для кінцевих моментів в однопрогонових балках див табл 13. при значеннях переміщень що одержані при розв’язанні системи рівнянь Означені моменти відкладаються на