![](/user_photo/_userpic.png)
- •Часть 4
- •1.Функции нескольких переменных
- •1.1. Понятие функции двух переменных. Область определения
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные и частные дифференциалы первого порядка
- •1.4. Полное приращение функции и полный дифференциал
- •1.5. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях первого порядка
- •1.6. Частные производные сложной функции. Полная производная
- •1.7. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.8. Производная по направлению. Градиент
- •1.9. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •1.10. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •1.11. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие
- •1.12. Достаточный признак экстремума
- •1.13. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Двойной интеграл
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Основные свойства двойного интеграла
- •2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •2.4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •2.5. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
- •2.6. Вычисление площадей плоских фигур
- •2.7. Вычисление площадей поверхностей
- •2.8. Моменты инерции плоской фигуры
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Тройной интеграл
- •3.1 Задача, приводящая к понятию тройного интеграла
- •3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •3.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •3.4. Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла
- •3.5. Приложение тройного интеграла для вычисления массы тела
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Поверхностный интеграл II рода
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода
- •5.3. Формула Остроградского-Гаусса
- •5.4. Формула Стокса
- •5.5. Векторная запись формулы Стокса. Ротор вектора
- •5.6. Потенциальные векторные поля. Нахождение потенциала
- •5.7. Оператор Гамильтона. Векторные операции второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Начала математического анализа
- •Часть 4
- •Подписано к изданию 02.05.06.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.6. Вычисление площадей плоских фигур
Если положить в двойном интеграле f(x; y) = 1, то получится объем прямого цилиндра с высотой Н = 1. Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:
или, в полярных координатах
Пример
20. Найти
площадь фигуры, ограниченной линиями
,
.
Решение:
Область D
удобно рассматривать как правильную
относительно оси
.
Для нахождения пределов внешнего
интегрирования по
выразим
как функции
из уравнений обоих линий и приравняем
эти функции:
,
.
Корни
уравнения
и
укажут нижний и верхний пределы внешнего
интегрирования. Граница области D
будет определяться неравенствами
Пример
21. Найти
площадь фигуры, ограниченной линиями
,
.
Решение: Область D, ограниченная линиями ,
, указана на рис. 13.
Для
нахождения пределов внешнего интегрирования
по
приравняем
,
выраженное из уравнений ограничивающих
линий:
.
Отсюда
,
а
.
Площадь
области D
равна
2.7. Вычисление площадей поверхностей
Пусть
в области
задана поверхность
,
имеющая уравнение
.
Для вычисления площади поверхности
разобьем
область
на
частей. Рассмотрим
-тый
участок разбиения, имеющий площадь
.
Внутри каждого участка выберем
произвольную точку
и посчитаем значение функции в этой
точке
.
Построим точку
,
лежащую на поверхности
.
Обозначим через
участки поверхности
,
проецирующиеся в элементарные участки
.
Тогда площадь поверхности
можно вычислить как сумму площадей
элементарных участков
.
Каждый
элементарный участок поверхности
площадью
приближенно заменим участком касательной
плоскости, касающейся нашей поверхности
в точке
.
Из аналитической геометрии площади
участков касательной плоскости равны
,
где
-угол
между осью
и вектором нормали
к поверхности
.
Площадь поверхности
приближенно равна
.
Вектор
нормали
,
построенный в точке поверхности
,
имеет проекции
,
а
.
Тогда площадь поверхности приближенно равна
.
Рассмотрим предел полученной интегральной суммы при неограниченном увеличении числа разбиений . Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения, то он соответствует площади поверхности
.
Пример
22. Найти
площадь поверхности, которую вырезает
цилиндрическая поверхность
из верхней полусферы
.
Решение: Вычислим частные производные функции
:
,
.
Областью
будут являться точки круга
,
расположенного на плоскости
.
Тогда площадь поверхности
будет выражаться интегралом
Переходя к полярным координатам и , получаем
2.8. Моменты инерции плоской фигуры
Моментом
инерции материальной точки
массы m
относительно начала координат называется
произведение массы
на квадрат расстояния
материальной точки до начала координат,
т. е.
.
Момент инерции плоской фигуры, имеющей
поверхностную плотность масс
,
относительно начала координат может
быть вычислен по формуле:
Пример
23.
Найти момент инерции относительно
начала координат фигуры, расположенной
в первой четверти, ограниченной эллипсом
и координатными осями (рис. 14). Поверхностная
плотность пластины
.
Решение: Находим момент инерции
.