![](/user_photo/_userpic.png)
- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •1. Элементы высшей алгебры
- •1.1. Матрицы
- •1.2. Определители
- •1.3. Системы трех уравнений первой
- •Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы Рассмотрим снова систему уравнений
- •1.5. Метод гаусса
- •Векторная алгебра
- •2.1. Скалярные и векторные величины
- •Проекция
- •2.3. Линейные операции над векторами
- •3. Основные свойства линейных операций.
- •4. Теоремы о проекциях векторов.
- •Скалярное произведение векторов
- •1. Определение и основные свойства скалярного произведения.
- •2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •Векторное произведение
- •2 . Основные свойства векторного произведения.
- •4. (Свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю).
- •5. (Свойство распределительности относительно суммы векторов).
- •3. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •Смешанное произведение трех векторов
- •В силу тождества (1) смешанное произведение можно обозначить более простым символом .
- •2. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •Расстояние между двумя точками.
- •Площадь треугольника.
- •3.2. Полярные координаты
- •3.3. Линии первого порядка
- •6. Общее уравнение прямой.
- •Умножая данное уравнение на μ, получаем нормальное уравнение
- •3.4. Линии второго порядка
- •1. Эллипс.
- •3. Парабола.
- •3.5. Общее уравнение линии второго порядка
- •1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду.
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Уравнение плоскости
- •Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду
- •4.2. Уравнение прямой
- •4.3. Поверхности второго порядка
- •5. Предел последовательности
- •5.1. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •5.2. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы , где есть бесконечно малая.
- •5.3. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •6.1. Классификация функций
- •6.2. Предел функции
- •6.3. Теоремы о пределах функции
- •6.4. Два замечательных предела
- •2. Второй замечательный предел
- •6.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •6.6. Сравнение бесконечно малых
- •6.7. Неопределенные выражения
- •6.8. Непрерывные функции
- •6.9. Классификация точек разрыва
- •Определение и классификация точек разрыва функции.
- •6.10. Основные свойства непрерывных функций
- •Дифференцирование
- •7.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •7.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •7.3. Дифференциал функции
- •Правила дифференцирования.
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •7.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Параметрическое задание функции
- •Применение дифференциального
- •8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •8.2. Раскрытие неопределенностей. Правило лопиталя.
- •8.3. Формула тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •8.4. Исследование поведения функций
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Ответы к п.П. 2.1 2.4
- •Задачи к п. 2.5
- •Ответы к п. 2.5
- •Задачи к п. 2.6
- •Ответы к п. 2.6.
- •Задачи к п.П. 3.1 – 3.3
- •Ответы к п.П. 3.1 – 3.3
- •Задачи к п.П. 3.4 – 3.5
- •Ответы к п.П. 3.4 – 3.5
- •Задачи к п.П. 4.1 4.2
- •Задачи к п. 4.3
- •Ответы к п. 4.3
- •Задачи к п.П. 5.1 6.4
- •Ответы к п.П. 5.1 6.4
- •Задачи к п.П. 6.5 6.9
- •Ответы к п.П. 6.5 6.9
- •Задачи к п.П. 7.1 – 7.6
- •Ответы к п.П. 7.1 – 7.6
- •Задачи к п.П. 8.1 – 8.3
- •Ответы к п.П. 8.1 – 8.3
- •Задачи к п. 8.4
- •Ответы к п. 8.4
- •Вопросы к экзамену
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
- •7. Дифференцирование ……..…………………………..125
- •8. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций………...……………………….…..150
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Ответы к п. 4.3
1.
Плоскость, параллельная
плоскости
ОХУ.
2. Плоскость
с нормальным вектором
3. Сфера
радиуса R
= 2 с центром в начале координат.
4. Сфера
радиуса R
= 4 с центром в точке С(2,0,1).
5. Начало
координат.
6. Ось Оу.
7. Пустое
множество.
8. Пара
пересекающихся плоскостей, параллельных
оси Оу.
9. Пара
координатных плоскостей
Oyz
и Oxy.
10. Тройка
координатных плоскостей.
11. Пара
плоскостей х
= 0 и х
= 4. 12. Пара
плоскостей у
= 0 и у
= х.
13. а)
С(0,0,3),
R
= 3; б)
С(2,1,1),
R
= 5.
14.
Эллипсоид.
15. Однополостный
гиперболоид. 16.
Двуполостный
гиперболоид вращения. 17.
Конус.
18.
Параболоид
вращения.
19. Гиперболический параболоид. 20. Эллиптический параболоид. 21. Параболический цилиндр. 22. Параболоид вращения с вершиной (0,0,2). Гиперболический параболоид. 24. Однополостный гиперболоид вращения. 25. Двуполостный гиперболоид вращения.
Задачи к п.П. 5.1 6.4
Написать первые пять членов последовательностей:
1. 1)
2)
3)
Какие из последовательностей являются ограниченными:
2. 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
3. Известно,
что
Найти номер N,
начиная с которого выполняется
неравенство
где
4. Доказать,
что: 1)
2)
3)
4)
Установить, какие из заданных последовательностей являются бесконечно большими:
5. 1)
2)
3)
4)
Доказать, что последовательности являются бесконечно малыми:
1)
2)
3)
7. Доказать,
что последовательность
является бесконечно большой при
и бесконечно малой при
Вычислить пределы:
8.
9.
.
10.
11.
12.
.
13.
Доказать монотонность последовательностей:
1)
2)
3)
4)
5)
15. Доказать,
что последовательность
сходится,
и найти ее предел.
В задачах 16
18,
пользуясь только определением предела
функции, доказать что
и заполнить таблицу:
|
0,1 |
0,01 |
0,001 |
|
|
|
|
16.
17.
18.
Вычислить пределы следующих выражений:
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
Используя замечательные пределы, вычислить:
36.
37.
38.
39.
40.
41.
.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
Вычислить односторонние пределы:
51.
.
52.
.
53.
.
54.
.
55.
Найти пределы:
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.