Тема 7 Постановка задачи оптимального управления. Формулировка необходимого условия оптимального управления в форме принципа максимума Понтрягина

[4] с. 70-91.

Контрольные вопросы и задания

1. Какими уравнениями описывается поведение фазовых координат?

2. Запишите краевые условия, которым удовлетворяют начальное и конечное состояния управляемого объекта.

3. Запишите изопериметрические ограничения.

4. В чем заключается задача оптимального управления?

Основные понятия

Допустим, что математическая модель некоторого про­цесса характеризуется зависящими от времени t фазовыми ко­ординатами x₁(t)…x_n(t), поведение которых описывается системой дифференциальных уравнений

dx_i /dt=f_i , (i=1,…n), (7.1)

где u₁(t), … u_m(t) - параметры управления.

Будем считать, что допустимые управ­ления u=(u_1,…,u_m ) содержатся в некотором множестве U и в этом множестве существует управление u⁽⁰⁾={u₁⁽⁰⁾(t),…,u_m⁽⁰⁾ (t)} переводящее управляемый объект из на­чального состояния S₀(t₀,x₁⁽⁰⁾_,…,x_n⁽⁰⁾) в конечное S₁(t₁,x₁⁽¹⁾_,…,x_n⁽¹⁾). Пусть начальное и конечное состоя­ния удовлетворяют краевым условиям:

Ψ_j(t₀,x₁(t₀)_,…,x_n(t₀);t₁,x₁(t₁)_,…,x_n(t₁))≤0, (j=1,…k), (7.2)

фазовые координаты x₁(t),…,x_n(t) и управление

(u_1,…,u_m) подчинены изопериметрическим ограниче­ниям:

(s=1,…l), (7.3)

Предположим также, что функционал

J(x,u,t₀,t₁)= (7.4)

выражает некоторую характеристику процесса, которую ус­ловно рассматривают как цель, цену или качество процесса.

Задача оптимального управления заключается в отыскании во

множестве U такого управления u^*={u₁^*(t),…,u_m^* (t)}, которое осуществляет переход управляемого объекта, поведение которого описывается системой (7.1) из состояния S₀ в состояние S₁, при выполнении краевых условий (7.2) и изопериметрических ограничений (3) таким образом, чтобы функционал (7.4) достигал экстремального значения (для определенности, в дальнейшем будем говорить о минимуме функционала (7.4)).

Четверку величин x,u,t₀,t₁ называют управляемыми

процессом в задаче оптимального управления (7.1)-(7.4), если:

а) управление u(t) - кусочно-непрерывная функция на

отрезке [t₀,t₁ ], содержащаяся во множестве U ;

б) фазовая траектория x(t) непрерывна на отрезке [t₀,t₁],

в) для всех t кроме, быть может, точек разрыва

управления u(t), функции x₁(t)_,…,x_n(t) удовлетворяют сис­теме уравнений (7.1).

Управляемый процесс называется допустимым, если удовлетворяются условия (7.2)-(7.3). Допустимый управляемый процесс (x*(t),u*(t),t*₀,t*₁) называется оптимальным, если найдется такое ε > 0, что для всякого допустимого управляемого процесса (x(t),u(t),t₀,t₁) такого, что ,

при t выполняется неравенство J(x,u,t₀,t₁)

Необходимые условия экстремума задачи оптимального

управления, позволяющие определить оптимальный управляемый процесс, если он существует, получены А. С. Понтрягиным

и имеют название принципа максимума Понтрягина. Для фор-

мулировки этого принципа предположим. что λ=(λ_0,…,,λ_l) и μ=(μ₀,…,μ_k), где λ₀=μ₀ , неко­торые постоянные векторы, a w(t) = (w₁(f),..., w_n(t)) - ку­сочно-гладкая на [t₀,t₁],вектор-функция. Введем функции Лагранжа:

Ф(t,x,x^/,u)=λ₀F+ +

Ψ(t₀,x(t₀),t₁,x(t₁))= и функционал

J(x,u,t₀,t₁)= (7.5)

и пусть существует оптимальный управляемый процесс

(x*(t),u*(t),t*₀,t*₁). Для произвольной функции H(x,u,t₀,t₁) обозначим H*(t)=H(x*(t),u*(t),t*₀,t*₁) . Имеет место

Принцип максимума Понтрягина. Если (x*(t),u*(t),t*₀,t*₁) - оптимальный процесс для задачи (7.1)-(7.4), то найдутся множители λ, μ,w(t), неравные одновременно нулю и та­кие, что для функционала (7.5) выполняются:

1. уравнения Эйлера:

(i=1,…n);

2. условия трансверсальности по х_i:

, (i=1,…,n);

3. условия трансверсальности по t:

4. принцип максимума по и:

5. условия согласованности знаков в соотношениях (7.2) и (7.3): если при некотором j в соотношении (7.2) (или при некото­ром s в соотношении (7.3)} стоит знак "<", то соответствующие λ_j=μs , >0; при тех j и s,y которых в соотношениях (7.2) и (7.3) стоят знаки равенства, знаки λ_j и μs могут быть произволь­ными;

6. условия дополняющей жесткости:

λ_s( ,(s=1,…,l); =0 (j=1,…k);

Замечание. При рассмотрении многих задач полезно применять функцию Понтрягина:

Форма контроля: устный опрос.