QalOGUGtk0
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Сборник статей
III выпуск
МУРМАНСК
2015
УДК 378.016:51(082) ББК 74.580.2я43
А79
Печатается по решению Совета по научно-исследовательской работе и редакционно-издательской деятельности Мурманского государственного гуманитарного университета
Рекомендовано к печати кафедрой математики и математических методов в экономике МГГУ (протокол № 7 от 30.03.2015 г.)
Редколлегия: Б. М. Верещагин, доцент кафедры МиММЭ МГГУ (отв. ред.); Е. А. Давидюк, ст. преподаватель кафедры МиММЭ МГГУ; О. М. Мартынов, заведующий кафедрой МиММЭ МГГУ
Коллектив авторов
Аргумент : сборник статей / отв. ред. Б. М. Верещагин. – Мурманск : МГГУ, 2015. – Вып. III. 241 с.
Сборник состоит из работ по методике преподавания математики в университетах преподавателей кафедры математики и математических методов в экономике. Основная часть материала данного выпуска посвящена обсуждению содержания ответов на вопросы по математическим дисциплинам на государственной аттестации студентов специальностей:
010501.65 Прикладная математика и информатика.
080116.65 Математические методы в экономике, и направлений
010400.62 Прикладная математика и информатика.
050100.62 Педагогическое образование, профиль Математика, информа-
тика.
080500.62 Бизнес-информатика.
010200.62 Математика и компьютерные науки.
Печатается в авторской редакции.
©Коллектив авторов, 2015
©ФГБОУ ВО «Мурманский государственный гуманитарный университет», 2015
2
О Г Л А В Л Е Н И Е
Богомолов Р.А., Богомолова И.В. Обращение матрицы……………… 5
Богомолов Р.А., Богомолова И.В. Решение систем линейных алгебраических уравнений………………………………………….… 9
Богомолов Р.А., Богомолова И.В. Геометрический подход к решению систем алгебраических неравенств…………………….….. 16
Богомолов Р.А., Богомолова И.В. Построение ортонормированных систем векторов методом Грамма-Шмидта….. 20
Богомолов Р.А., Богомолова И.В. Матричное представление линейного оператора…………………………………………………... 24
Богомолов Р.А., Богомолова И.В. Спектр и собственные векторы линейного оператора…………………………………………………... 30
Верещагин Б.М., Верещагина С.А. Решение задач по теме
«Предел функции по базе. Свойства пределов»………………..……. 35
Верещагин Б.М., Верещагина С.А. Решение задач по теме
«Вычисление производной функции»………………………………... 42
Верещагин Б.М., Верещагина С.А. Решение задач по теме
«Неопределённый интеграл и интеграл Римана»……………………. 46
Верещагин Б.М., Верещагина С.А. Решение задач по теме
«Дифференцируемые функции нескольких переменных»……….…. 54
Верещагин Б.М., Верещагина С.А. Решение задач по теме
«Исследование сходимости рядов»………………………………..…. 57
Давидюк Е.С. Решение задач по теме «Методы обнаружения грубых ошибок. Робастные оценки»………………………………..… 63
Давидюк Е.С. Решение задач по теме «Кластерный анализ»……..… 70
3
Давидюк Е.С. Решение задач по теме «Регрессионный анализ»…… 79
Давидюк Е.С. Решение задач по теме «Матричные игры»………….. 88 Давидюк Е.С. Решение задач по теме «Биматричные игры»……….. 98
Давидюк Е.С. Решение задач по теме «Кооперативные игры»…….. 102
Ланина Н.Р. Решение задач по разделу «Дискретная математика»……………………………………………………….……. 114
Ланина Н.Р. Индивидуальные задания по курсу «Комбинаторные алгоритмы» (24 варианта)………………….…….. 125
Локоть В.В. Задачи для подготовки к государственному экзамену по математике……………………………………………………….… 140
Мартынов О.М. Задачи для подготовки к междисплицинарному экзамену по дисциплине «Уравнения математической физики» (специальность «Прикладная математика и информатика»)…….…. 156
Мартынов О.М. Задачи для подготовки к междисплицинарному экзамену по дисциплине «Методы оптимизации» (специальность «Прикладная математика и информатика»)………………………… 192
Мартынов О.М. Задачи для подготовки к междисплицинарному экзамену по дисциплине «Теория оптимального управления» (специальность «Математические методы в экономике»…………… 203
Побойкин В.Я. Некоторые задачи численных методов……………… 215
Пышкина Т.В. Решение задач линейного программирования симплекс-методом и с использованием табличного редактора
Excel…………………………………………………………………..… 225
Пышкина Т.В. Решение транспортной задачи линейного программирования методом потенциалов и с использованием табличного редактора Excel…………………………………………… 234
4
Богомолов Р.А. Богомолова И.В.
Обращение матрицы
a11 |
a12 |
a1n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a2n |
- числовая квадратная матрица n-ого по- |
|||
Пусть A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
an 2 |
|
|
|
|
an1 |
ann |
|
рядка.
|
|
a1i |
a1, j 1 |
a1, j 1 |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина |
A 1 i j |
ai 1,1 |
ai 1, j 1 |
ai 1, j 1 |
ai 1,n |
(1) |
|
|
ij |
ai 1,1 |
ai 1, j 1 |
ai 1. j 1 |
ai 1,n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
an, j 1 |
an, j 1 |
ann |
|
называется алгебраическим дополнением элемента aij и представляет собой определитель (n-1)-го порядка.
Для определителя det A матрицы A имеют место соотношения:
n |
|
det A aij Aij , |
(2) |
j 1 |
|
n |
|
det A aij Aij |
(3). |
i 1
Равенство (2) называется разбиением det A по i-й строке, а равенство
(3) – разбиением det A по j-му столбцу.
Квадратная матрица A называется вырожденной, или особенной, если det A = 0, и невырожденной, или неособенной, в противном случае.
Матрица A называется обратимой, если существует матрица B, такая, что AB = BA = E, где E – единичная матрица (т.е. такая квадратная, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Матрица B называется матрицей, обратной матрице A, и обозначается как A-1.
Теорема.
Матрица A обратима, если и только если A – квадратная невырожденная; при этом матрица A-1 определяется единственным образом.
Одним из способов обращения матрицы A, т.е. отыскания матрицы A-1, является метод присоединенной матрицы, представляющий собой вычисление по формуле
5
A 1 |
|
|
|
|
1 |
|
A* , |
|
|
|
|
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
det A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
A11 |
A21 |
An1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A12 |
A22 |
An 2 |
|
|
|
|
|
|||
где A |
* |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
- матрица, называемая присоединённой к мат- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
A |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1n |
2n |
nn |
|
|
|
|
|
||
рице A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a) |
|
Найти матрицу, обратную матрице А, через присоединенную |
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А= |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Воспользуемся формулой: |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
A |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
* |
* |
|
11 |
21 |
31 |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A , |
где A |
A12 |
A22 |
A32 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
det A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A13 |
A23 |
A33 |
|
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A |
|
|
0 1 1; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
11 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|||||||||||||
A |
(1 0) 1; |
|
|
|||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
1 |
0 |
|
1 |
|
|
||||
31 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Используя формулу разложения определителя по первому столбцу, получим:
det A a11 A11 a21 A21 a31 A31 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) 2
Поскольку detA≠0, то матрица А в самом деле обратима, так что задача поставлена корректно. Завершим вычисление матрицы A*
A |
|
1 |
1 |
|
(1 1) 0; |
|
|
||||
12 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
A |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
2; |
|
|
|
|
|
||||||
|
22 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
|
|
|
|
|
(2 0) 2; |
|
|
|
||||||||||||
|
32 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A |
|
|
1 |
0 |
|
1 0 1; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
13 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
(2 1) 3; |
|
|
|
||||||||||||
A |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
23 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
|
|
1 |
|
|
0 1 1. |
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
33 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, |
|
A |
|
0 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
, и |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 / 2 1/ 2 |
1 / 2 |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
0 2 |
2 |
|
0 |
1 |
1 |
. |
||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
1/ 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 / 2 3 / 2 |
|
b) Найти матрицу, обратную матрице А, через присоединенную:
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
3 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
Решение:
Воспользуемся формулой
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
A |
|
|
1 |
|
1 |
* |
* |
|
11 |
21 |
31 |
|
A |
|
|
|
A , |
где A |
A12 |
A22 |
A32 |
|
|
|
det A |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
A13 |
A23 |
A33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
A |
3 |
1 |
0 1 1; |
11 |
1 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
7
|
1 |
|
(0 1) 1; |
|
A |
1 |
|
||
21 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 3 4. |
|
A |
1 |
|
||
31 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Используя формулу разложения определителя по первому столбцу, полу-
чим: det A a11 A11 a21 A21 a31 A31 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0 4 1
Поскольку detA≠0, то матрица А в самом деле обратима, так что задача поставлена корректно. Завершим вычисление матрицы A*
A |
|
1 |
1 |
|
(0 0) 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 0 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
22 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A |
2 |
|
|
|
|
|
(2 1) 1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
32 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
1 0 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
13 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A |
2 |
|
(2 0) 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
23 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
|
2 |
|
|
|
|
6 1 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
33 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
4 |
1 1 |
4 |
|||||||||||||||
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
0 |
0 1 |
, и A |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 0 |
1 |
. |
||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 2 |
7 |
|
|||||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
8
Богомолов Р.А. Богомолова И.В.
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
a11x1 a12 x2 |
... a1n xn |
b1 , |
|||||
|
|
|
... a2n xn |
b2 , |
|||
a21x1 a22 x2 |
|||||||
.............................................. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x a |
x |
|
... a |
x |
n |
b , |
m1 |
1 |
m2 2 |
|
mn |
m |
где числа aij , i 1, m j 1, n называются коэффициентами системы, числа bi - свободными членами. Подлежат нахождению числа xn .
Такую систему удобно записывать компактно в матричной форме
A X B
Здесь A - матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:
|
|
a11 |
a12 |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A a21 |
a22 |
a2n |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
am 2 |
amn |
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X x2 |
|
- вектор-столбец из неизвестных |
x , |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B b2 |
|
- вектор столбец их свободных членов b . |
||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bm |
|
|
|
|
|
|
Произведение матриц A X определено, так как в матрице A столбцов столько же, сколько строк в матрице X ( n штук).
Расширенной матрицей системы называется матрица полненная столбцом свободных членов
|
a11 a12 |
a1n b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a2n b2 |
. |
A |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
am2 |
amn bm |
9
Решением |
системы |
называется |
n значений |
неизвестных |
x1 c1, x2 c2 , , |
xn cn , при подстановке которых все уравнения системы |
обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать
|
c1 |
|
|
|
|
в виде матрицы-столбца |
C c2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
cn |
|
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены равны нулю:
a11x1 a12 x2 ... |
a1n xn 0, |
|
|
.............................................. |
|
||
|
|
|
|
a x a |
x ... |
a x 0, |
|
m1 1 |
m2 2 |
mn n |
|
Однородная система всегда совместна, так как x1 x2 |
xn 0 является |
решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Пусть дана произвольная система m |
линейных уравнений с n неиз- |
||||
вестными |
|
|
|
|
|
a11x1 a12 x2 ... |
a1n xn b1 , |
||||
|
|
|
a2n xn b2 , |
||
a21x1 a22 x2 ... |
|||||
.............................................. |
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
x a |
x ... |
a |
mn |
x b . |
|
m1 1 |
m2 2 |
|
n m |
Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теорема Кронекера-Капелли.
10