FNP
.docТИПОВОЙ РАСЧЕТ
по теме “Функции нескольких переменных”
Вариант №1
-
Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:
а) ; б) ;
-
Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:
а) ; б) ;
-
Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:
;
-
Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:
;
-
Найти производные неявно заданной функции: а) ; б)
1. ; 2.
-
Найти градиент функции в точке и вычислить его модуль
;
-
Для функции в точке вычислить градиент и производную в направлении вектора
-
Найти полный дифференциал функции:
а) ; б)
-
С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции:
при
-
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в указанной точке : ;
-
Исследовать на экстремум функцию ,
-
Положительное число a разложить в сумму трех положительных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
-
По заданным приближенным значениям аргументов функции и их предельным абсолютным погрешностям вычислить абсолютную и относительную (в процентах) погрешности значения функции; найти приближенное значение , сохраняя только верные цифры.
; .
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
по теме “Функции нескольких переменных”
Вариант №2
-
Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:
а) ; б) ;
-
Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:
а) ; б) ;
-
Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:
;
-
Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:
;
-
Найти производные неявно заданной функции: а) ; б)
1. ; 2.
-
Найти градиент функции в точке и вычислить его модуль
;
-
Для функции в точке вычислить градиент и производную в направлении вектора
-
Найти полный дифференциал функции:
а) ; б)
-
С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции:
при
-
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в указанной точке : ;
-
Исследовать на экстремум функцию ,
-
Среди всех цилиндров, вписанных в шар радиуса R, найти тот, у которого площадь полной поверхности наибольшая. Указать высоту H и радиус основания r такого цилиндра.
-
По заданным приближенным значениям аргументов функции и их предельным абсолютным погрешностям вычислить абсолютную и относительную (в процентах) погрешности значения функции; найти приближенное значение , сохраняя только верные цифры. ; .
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
по теме “Функции нескольких переменных”
Вариант №3
-
Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:
а) ; б) ;
-
Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:
а) ; б) ;
-
Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:
;
-
Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:
;
-
Найти производные неявно заданной функции: а) ; б)
1. ; 2.
-
Найти градиент функции в точке и вычислить его модуль
;
-
Для функции в точке вычислить градиент и производную в направлении вектора ;
-
Найти полный дифференциал функции:
а) ; б)
-
С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции:
при
-
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в указанной точке : ;
-
Исследовать на экстремум функцию ,
-
Из всех плоскостей вида , проходящих через заданную точку , выделить такую, которая вместе с координатными плоскостями образует треугольную пирамиду с наименьшим объемом ( - отличны от нуля).
-
По заданным приближенным значениям аргументов функции и их предельным абсолютным погрешностям вычислить абсолютную и относительную (в процентах) погрешности значения функции; найти приближенное значение , сохраняя только верные цифры.
; .
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
по теме “Функции нескольких переменных”
Вариант №4
-
Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:
а) ; б) ;
-
Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:
а) ; б) ;
-
Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:
;
-
Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:
;
-
Найти производные неявно заданной функции: а) ; б)
1. ; 2.
-
Найти градиент функции в точке и вычислить его модуль
;
-
Для функции в точке вычислить градиент и производную в направлении вектора ;
-
Найти полный дифференциал функции: а) ; б)
-
С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции:
при
-
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в указанной точке : ;
-
Исследовать на экстремум функцию , .
-
На плоскости даны n материальных точек с массами соответственно. При каком положении точки момент инерции данной системы относительно точки M будет наименьшим?
-
По заданным приближенным значениям аргументов функции и их предельным абсо-лютным погрешностям вычислить абсолютную и относительную (в процентах) по-грешности значения функции; найти приближенное значение , сохраняя только верные цифры. ;
.
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
по теме “Функции нескольких переменных”
Вариант №5
-
Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:
а) ; б) ;
-
Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:
а) ; б) ;
-
Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:
;
-
Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:
;
-
Найти производные неявно заданной функции: а) ; б)
1. ; 2.
-
Найти градиент функции в точке и вычислить его модуль
;
-
Для функции в точке вычислить градиент и производную в направлении вектора
-
Найти полный дифференциал функции:
а) ; б)
-
С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции:
при
-
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в указанной точке : ;
-
Исследовать на экстремум функцию ,
-
Определить наружные размеры открытого ящика формы прямоугольного параллелепипеда с заданной толщиной стенок и с заданным объемом V так, чтобы на его изготовление потребовалось наименьшее количество материала.
13. По заданным приближенным значениям аргументов функции и их предельным абсолютным погрешностям вычислить абсолютную и относительную (в процентах) погрешности значения функции; найти приближенное значение , сохраняя только верные цифры. ; .
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
по теме “Функции нескольких переменных”
Вариант №6
-
Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:
а) ; б) ;
-
Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:
а) ; б) ;
-
Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:
;
-
Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:
;
-
Найти производные неявно заданной функции: а) ; б)
1. ; 2.
-
Найти градиент функции в точке и вычислить его модуль
;
-
Для функции в точке вычислить градиент и производную в направлении вектора
-
Найти полный дифференциал функции:
а) ; б)
-
С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции:
при
-
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в указанной точке : ;
-
Исследовать на экстремум функцию ,
-
Среди всех прямоугольных параллелепипедов, вписанных в шар радиуса R, найти такой, который имеет наибольший объем, и определить размеры последнего.
-
По заданным приближенным значениям аргументов функции и их предельным абсолютным погрешностям вычислить абсолютную и относительную (в процентах) погрешности значения функции; найти приближенное значение , сохраняя только верные цифры.
; ;
.
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
по теме “Функции нескольких переменных”
Вариант №7
-
Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:
а) ; б) ;
-
Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:
а) ; б) ;
-
Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:
;
-
Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению: