Введение в математику
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова"
И. Э. Головичева, В. В. Лодейщикова
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ
Учебно-методические указания
Барнаул 2013
ÓÄÊ 517 (075.5)
Головичева, И. Э. Введение в математику: учебно-методические указания/ И. Э. Головичева, В. В. Лодейщикова. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2013. 77 с.
Учебно-методические указания содержат материал для изучения в 1 семестре дисциплины "Введение в математику" для всех направлений бакалавриата технического ВУЗа. Указания включают в себя три главы: элементы теории множеств, комплексные числа и многочлены, функции одной действительной переменной. Каждая глава содержит необходимый теоретический материал, сопровождаемый большим количеством примеров и задач с подробными решениями, а также задачи для самостоятельного решения с ответами.
Рассмотрены и одобрены на заседании кафедры "Высшая математика"АлтГТУ. Протокол 1 от 29.08.2013 г.
Рецензент: Вингисаар Э. И. к.ф.-м.н., доцент
2
Оглавление
Предисловие |
5 |
Обзор основных формул элементарной математики . . . . . . . . . . . |
5 |
Элементы теории множеств |
9 |
1.1Основные понятия. Операции над множествами . . . . . . . . . . 9
1.2Числовые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Задачи к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
Комплексные числа и многочлены |
16 |
2.1Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2Формы записи комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Возведение в степень и извлечение корней из комплексных чисел 20
2.4Многочлены. Делимость многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5Корни многочлена. Разложение на множители. . . . . . . . . . . . 28
2.6 |
Задачи к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
33 |
Функции одной действительной переменной |
37 |
|
3.1 |
Понятие функции. Способы задания функций . . . . . . . . . . . |
37 |
3.2 |
Основные свойства функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
39 |
3.3Операции над функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4Основные элементарные функции и их графики. Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5Дробно-рациональные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6Преобразования графиков функций. Построение плоских областей 59
3
3.7 |
Числовые последовательности и их пределы . . . . . . . . . . . . |
62 |
3.8 |
Задачи к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
67 |
Ответы к задачам |
73 |
|
Литература |
77 |
4
Предисловие
Данные учебно-методические указания предназначены, в первую очередь, для студентов первого курса, изучающих дисциплину "Введение в математику". Каждая глава содержит основные теоретические сведения и формулы, необходимые для решения задач. Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров.
Для сокращения записей иногда будем использовать некоторые простейшие логические символы:
=) означает "из предложения следует предложение ";
() "предложения и равносильны", т. е. из следует и из
следует ; 8 означает "для любого", "для всякого";
9 "существует","найдется"; : "такое, что".
Так как данный курс опирается на знания, полученные в школе, то сделаем обзор оcновных формул элементарной математики.
Обзор основных формул элементарной математики
Формулы сокращенного умножения
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(a b)2 = a2 2ab + b2, a2 b2 = (a b)(a + b),
a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2), a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2),
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,
(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3.
5
Степени и корни
Пусть n натуральное число, a действительное число, тогда
an = a a : : : a,
a0 |
= 1, a 6= 0, pn |
|
m |
|
|||
am = a n , |
(корень четной степени из отрицательного числа не определен)
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
pn |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= a |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
m |
, |
|
||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(pa) |
|
|
|
|
(pa) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
pn a b = pn a |
pn b, |
rn |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||
|
b |
= pn b |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
pn a |
|||||||
2pn |
|
|
|
|
|
= a , |
2n p1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
= a. |
|
||||||||||||||||||||||||||
a2n |
a2n 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, пусть a > 0, b > 0, m; n действительные числа, тогда
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
= an m = |
|
1 |
|
|||||||
an am = an+m, |
|
= an : am |
|
, |
||||||||||||||||
am |
am n |
|||||||||||||||||||
|
|
(an)m = an m, (a b)n = an bn, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a |
|
n |
an |
|
|
1 |
|
a |
|
n |
= |
b |
|
n |
|||||
|
|
|
|
= |
|
, a n = |
, |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
b |
|
bn |
an |
b |
|
a |
|
Квадратное уравнение
ax2 + bx + c = 0, a 6= 0,
D = b2 4ac,
p
x1;2 = b D.
2a
Теорема Виета
b c
x1 + x2 = a, x1 x2 = a, ãäå x1, x2 корни квадратного уравнения.
Квадратный трехчлен ax2 + bx + c, a 6= 0,
разложение квадратного трехчлена на множители
ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2),
ãäå x1, x2 корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
6
Тригонометрия
|
|
|
|
|
|
|
1 sin 1, 1 cos 1, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
tg = |
|
|
|
, ãäå 6= |
|
|
|
+ n, n 2 Z, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ctg = |
cos |
, ãäå 6= k, k 2 Z, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg ctg = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Основное тригонометрическое тождество: sin2 + cos2 = 1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + tg2 = |
|
1 |
|
|
, 1 + ctg2 = |
1 |
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы приведения |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
t |
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
2 + |
||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos t |
|
sin |
sin |
|
cos |
|
cos |
|
sin |
|
|
sin |
cos |
|
cos |
||||||||||||||
sin t |
|
cos |
|
cos |
|
sin |
|
sin |
|
cos |
|
cos |
sin |
|
sin |
||||||||||||||
tg t |
|
ctg |
ctg |
|
tg |
|
|
tg |
|
|
|
ctg |
|
ctg |
tg |
|
tg |
Формулы двойного угла
sin 2 = 2 sin cos ,
cos 2 = cos2 sin2 = 2 cos2 1 = 1 2 sin2 ,
2 tg tg 2 = 1 tg2 .
Формулы понижения степени
cos2 = |
1 + cos 2 |
, sin2 |
= |
1 cos 2 |
. |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
Формулы преобразования суммы в произведение
cos + cos = 2 cos |
|
+ |
cos |
|
, |
|
||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos |
|
cos = 2 sin |
+ |
sin |
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
sin + sin = 2 sin |
+ |
cos |
|
, |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sin |
|
sin = 2 sin |
|
|
|
|
cos |
|
+ |
. |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
7
Формулы преобразования произведения в сумму
cos cos = |
1 |
|
(cos( ) + cos( + )), |
|||
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|||||
sin sin = |
1 |
|
(cos( ) cos( + )), |
|||
|
|
|
||||
2 |
|
|||||
sin cos = |
1 |
(sin( ) + sin( + )). |
||||
|
|
|||||
2 |
Логарифмы
loga b = c (a > 0; b > 0; a 6= 1) тогда и только тогда, когда ac = b.
Логарифмы по основанию 10 называются десятичными логарифмами: log10 a = lg a.
Логарифмы по основанию e (e 2; 72) называются натуральными логарифмами: loge a = ln a.
Основное логарифмическое тождество: blogb a = a. loga 1 = 0, loga a = 1,
loga bm = m loga b, logam b = m1 loga b (a > 0; b > 0; a 6= 1),
loga b c = loga b + loga c, loga cb |
= loga b loga c (a > 0; b > 0; c > 0; a 6= 1), |
|||
|
logc b |
1 |
(a > 0; a 6= 1; b > 0; b 6= 1; c > 0; c 6= 1). |
|
loga b = |
|
, loga b = |
|
|
logc a |
logb a |
8
Элементы теории множеств
1.1Основные понятия. Операции над множествами
Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.
Пример 1.1. Множество студентов в группе. Пример 1.2. Множество дней недели.
Пример 1.3. Множество целых чисел.
Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C,. . . .
Определение 1.1. Объекты, из которых состоит множество, называются
элементами множества.
Элементы множества обозначаются малыми буквами латинского алфавита: a, b, c,. . . .
Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x 2 X. Если элемент x не принадлежит множеству X, то записывают x 62X. Множество,
которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается
?.
Пример 1.4. Элемент 1 принадлежит множеству цифр в числе 214 , а элемент 3 не принадлежит данному множеству.
Основные способы задания множеств
1)Множество может быть определено непосредственным перечислением всех своих элементов. В этом случае элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которого они перечислены. Например, множество цифр в числе 214 может быть записано как A = f2; 1; 4g.
9
2) Множество можно |
определить с помощью свойства, |
которым |
облада- |
ют все элементы |
этого множества и только они. |
Например, |
запись |
B = fb j b2 3b + 2 = 0g означает, что множество B состоит из корней указанного квадратного уравнения.
Заметим, что можно задавать и бесконечное множество. Например, A = f2; 4; 6; 8; : : : g множество четных положительных чисел.
Определение 1.2. Множество A называется подмножеством множества
B, если каждый элемент множества A является элементом множества B.
Символически это обозначают так: A B. Заметим, что для любого множества X верны включения: ? X, X X.
Пример 1.5. Перечислить все подмножества множества A = f2; 1; 4g.
Решение. Получаем 8 подмножеств данного множества: ?, f2g, f1g, f4g, f2; 1g, f2; 4g, f1; 4g, f2; 1; 4g.
Определение 1.3. Говорят, что множества A и B равны èëè совпадают
(A = B), если A B и B A. Другими словами, множества, состоящие из
одних и тех же элементов, называются равными.
Далее будем считать, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества U. Перейдем к определению
операций над множествами и будем их наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Множества будем обозначать в виде кругов, а универсальное множество U прямоугольником.
Определение 1.4. Пересечением множеств A и B называется множество
A \ B, состоящее из элементов, входящих и в A, и в B:
A \ B = fxjx 2 A è x 2 Bg:
10