книги / Теория функций комплексного переменного
..pdfЗадание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
|
∞ |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
1. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx . |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(x2 |
+5) |
2 |
||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
(x +1)sin 2x |
|
|
||||||
2. |
∫ |
|
x |
2 |
+2x +2 |
|
dx . |
||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|||||
|
2π |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
3. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 − |
|
21sin x |
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
2π |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( 6 +cos x) |
2 |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
151
Вариант № 15
Задание 1
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 +3i и z2 = = 4 −3i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
2 |
4 |
z1 + z2 . |
|
|
||
|
Найти: z1 z2 , |
|
z2 |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Задание 2. Вычислить значение функции |
f (z) в точке |
||||||||||||||||||||||||
z0 , |
ответ представить в алгебраической форме комплексного |
|||||||||||||||||||||||||
числа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) f (z) =sh z, z0 = 1+ |
πi ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
б) |
f (z) = Arctg z, |
z0 = |
|
3 +4i |
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Указать область дифференцируемости функ- |
|||||||||||||||||||||||||
ции |
f (z) = 2z и вычислить производную. Выделить действи- |
|||||||||||||||||||||||||
тельную и мнимую часть полученной производной. |
||||||||||||||||||||||||||
|
Задание 4. Определить вид кривой z = |
2 |
+i 4 th 2t. |
|||||||||||||||||||||||
|
ch 2t |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 5. Построить область плоскости |
z, определяе- |
||||||||||||||||||||||||
мую данными неравенствами: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
≥1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z +i |
|
<1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
z −1 |
≤1+Re z, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
z +1 |
|
+ |
z −1 |
> 2 2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 6. Проверить, может ли функция v =3x2 y − y3 − y быть мнимой частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =0.
152
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-
бражается с помощью функции |
w = z + |
1 |
область D : |
|
z |
|
=1 |
||||||
|
|
||||||||||||
плоскости Z. |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной |
|||||||||||||
функции f (z) |
по степеням z − z0. Указать главную и правиль- |
||||||||||||
ную части ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) f (z) = |
15z −450 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
, z0 = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2z3 +15z2 −225z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) f (z) = |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
, z0 = −3 +i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задание 9. Функцию f (z) |
= sin |
|
|
z |
|
разложить в ряд |
|||||||
|
z −3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лорана в окрестности точки z0 =3.
Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-
бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f (z) = |
sin3 z |
; |
|
(z2 − z)3 |
|||
|
|
б) f (z) = 1z + 21z2 −e1z .
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
∫ z Re z2dz; L : { z = R, Im z ≥ 0}.
L
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а) ∫ |
z +1 |
|
dz ; |
|||||
|
z |
+3 |
||||||
|
z |
|
=2 e |
|
|
|||
|
|
|
|
153
б) ∫ |
z5 |
−3z3 +5z |
dz. |
|||
|
z |
4 |
||||
|
z+1 |
=1,5 |
|
|
|
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
|
∞ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( |
|
2 |
) |
2 |
( |
|
2 |
|
|
) |
|||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
+1 |
|
|
x |
+4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
|
xsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
||
( |
|
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2π |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
− |
4 2 sin x |
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2π |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
|
6 + |
5 cos x) |
2 |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
154
Вариант № 16
Задание 1
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 2 −2 3i и z2 =
= 3 +2i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.
|
б) Найти: z z2 , z2 |
|
|
, 5 z . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
z1 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Задание 2. Вычислить значение функции |
f (z) в точке |
|||||||||||||||
z0 , |
ответ представить в алгебраической форме комплексного |
||||||||||||||||
числа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
f (z) = cos z, |
z0 = |
πi +3 ; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
б) |
f (z) = Arch z, z0 = −2. |
|
|
|
||||||||||||
|
Задание 3. Указать область дифференцируемости функ- |
||||||||||||||||
ции |
f (z) = ln |
z |
|
и вычислить производную. Выделить дей- |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ствительную и мнимую часть полученной производной. |
|||||||||||||||||
|
Задание 4. Определить вид кривой z = |
4 |
+i2 th 4t. |
||||||||||||||
|
ch 4t |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 5. Построить область плоскости |
z, определяе- |
|||||||||||||||
мую данными неравенствами. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
< 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) |
|
|
|
|
π ≤ arg (z −1) ≤ |
π. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||
|
|
0 ≤1+Im z < |
|
z −i |
|
, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
−2 < Re z ≤ 2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 6. Проверить, может ли функция v = 2xy + y быть мнимой частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =0.
155
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-
бражается с помощью функции |
w = |
1 |
область D : |
z − |
1 |
= |
1 |
|
|
z |
|
|
2 |
|
2 |
плоскости Z.
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной
функции f (z) |
по степеням z − z0. Указать главную и правиль- |
||||||
ную части ряда. |
|
|
|
||||
а) f (z) = |
8z −256 |
= 0 ; |
|
|
|||
|
|
, z0 |
|
|
|||
z4 +8z3 −128z2 |
|
|
|||||
б) f (z) = |
z |
|
|
|
|||
|
, z0 = −3 −2i. |
|
|
|
|||
z2 +1 |
|
|
|
||||
Задание 9. Функцию f (z) = zsh |
1 |
разложить в ряд |
|||||
z −2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Лорана в окрестности точки z0 = 2.
Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-
бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f (z) = |
cos z |
; |
|
||
(4z2 −π2 )2 |
e2 z+i
б) f (z) = 2z +i .
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
∫ (3z2 +2z)dz AB :{y = x2 ; zA = 0; zB =1+i}.
AB
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а) ∫ |
dz |
|
; |
||
|
|
||||
(z −1)(z −2) |
2 |
||||
|
z−2 |
=1,5 |
|
|
156
б) ∫ |
z2e |
1 z2 dz |
. |
|||
|
z |
|||||
|
z |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+5 |
|
|
|
|
|
||||
1. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
+ |
|
5x |
2 |
+6 |
|
|
||||||||
|
−∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
8 |
|
|
15 sin x |
|
|
|||||||||||||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( |
|
|
|
7 + |
|
5 cos x) |
2 |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
157
Вариант № 17
Задание 1
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 1+i и z2 = 3 −i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.
|
|
2 |
|
z |
|
|
б) Найти: ( z1 z2 ) |
, |
, 5 z1 − z2 . |
||||
|
1 z |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
Задание 2. Вычислить значение функции f (z) в точке z0 , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:
а) f (z) = Ln z, z0 = −1+i ;
б) f (z) = Arccos z, z0 = −5.
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z) = cth (zi) и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z = th5t + ch55i t .
Задание 5. Построить область плоскости z, определяемую данными неравенствами.
|
|
|
z |
|
≤1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π. |
|
arg ( z |
+i) |
|
> |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Im z > |
|
z |
|
−3, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
− |
|
z |
|
. |
|
||||||||||
|
Im z ≤3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Проверить, может ли функция v =3x2 y − y3 |
||||||||||||
Задание 6. |
|
|
быть мнимой частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =1.
158
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-
бражается с помощью функции |
w = z + 2 |
область |
D : |
|
z |
|
=3 |
|||||
|
|
|||||||||||
плоскости Z. |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной |
||||||||||||
функции f (z) |
по степеням z − z0. Указать главную и правиль- |
|||||||||||
ную части ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) f (z) = |
|
z +2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
, z0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||
z + z2 −2z3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
б) f (z) = |
4 |
z +2 |
, z0 |
= −2 +2i. |
|
|
|
|
|
|
||
(z −1)(z +3) |
|
|
|
|
|
|
|
z
Задание 9. Функцию f (z) = ez−3 разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0 =3.
Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-
бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f (z) = |
( z −3)2 |
|
|
; |
|
(z2 −5z +6)2 |
||
б) f (z) = |
z3 cos 4 −2πz . |
|
|
4z |
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
∫ z Re z2dz; L : { z = R, Im z ≥ 0}.
L
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
ez dz
а) +∫ = z2 (z2 −9) ;
z 2 3
159
e2 z − z
б) ∫ z2 dz.
z =1
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
|
∞ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( |
|
2 |
|
) |
3 |
|
|
|
|
|||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|||
( |
x2 |
|
) |
3 |
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2π |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||
3. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 sin x − |
2 |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2π |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( |
|
2 +cos x) |
2 |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
160