книги / Теория функций комплексного переменного
..pdf2. Общая показательная функция w = az является многозначной.
Обратные тригонометрические и гиперболические функции
Функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим функциям, определяются, как и в действительной области.
Например, число w называется арксинусом числа z, если sin w = z, и обозначается w = Arcsin z.
Аналогично определяются функции Arccos z, Arctg z, Arcctg z.
Поскольку функция sin z определяется через показательную функцию, то обратная к ней будет выражена через ло-
гарифм |
|
w = Arcsin z = −i Ln (i z + 1− z2 ). |
(4.17) |
Функция w = Arcsin z многозначна.
Аналогично определяются остальные обратные тригоно-
метрические и функции |
|
|
|
z2 +1), |
|
||||
Arccos z = −iLn (z + |
(4.18) |
||||||||
Arctg z = − |
i |
Ln i − z |
, |
(z ≠ ±1), |
(4.19) |
||||
|
|
||||||||
|
2 |
|
i + z |
|
|
|
|||
Arcctg z = |
i |
|
Ln |
z −i |
, |
(z ≠ ±1). |
(4.20) |
||
|
z +i |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
Функции, обратные гиперболическим, обозначаются соот- |
|||||||||
ветственно Arcsh z |
(ареа-синус), |
Arcch z |
(ареа-косинус), |
||||||
Arcth z (ареа-тангенс), |
Arccth z (ареа-котангенс). |
Обратные гиперболические функции имеют следующие выражения:
31
|
|
|
|
|
|
|
Arsh z = Ln (z + |
|
z2 +1), |
|
|
|
|
|
|
(4.21) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Arch z = Ln (z + |
|
z2 −1), |
|
|
|
|
|
|
(4.22) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Arth z = |
1 Ln |
1+ z |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.23) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1− z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Arcth z = |
1 Ln |
z +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.24) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Все эти функции многозначны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Предел и непрерывность функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
комплексного переменного |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Число |
А |
( А |
) называют |
|
пределом |
функции |
f (z) |
||||||||||||||||||||
в точке z0 , |
если для любого числа ε > 0 найдется число δ(ε), |
||||||||||||||||||||||||||||
такое, что |
|
для |
всех |
z, удовлетворяющих |
неравенству |
||||||||||||||||||||||||
0 < |
|
z − z0 |
|
< δ(ε), |
выполняется неравенство |
|
f (z) − А |
|
< ε: |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
lim f (z) |
|
( ε > 0)( δ(ε))( z, |
0 < |
|
z − z0 |
|
< δ(ε)): |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
z→z0 |
|
|
|
|
f ( z) − A |
|
< ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.25) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Существование предела lim f ( z) , где |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
f (z) =u ( x, y) +iv(x,y), |
z0 = x0 +iy0 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
равносильно |
существованию |
|
|
двух |
|
пределов |
lim u ( x, y) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→y0 |
|
||
и lim v(x, y) , причем lim |
f (z) = lim u (x, y) +i lim v(x, y) . |
||||||||||||||||||||||||||||
x→x0 |
|
|
|
|
z→z0 |
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|||||||||||
y→y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y→y0 |
|
|
|
|
|
|
|
y→y0 |
|
|||||||||||
|
|
Функция |
f (z) |
называется непрерывной в точке z0 , |
если |
lim f (z) = f (z0 ) .
z→z0
32
Функция f (z) называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Дифференцирование функции комплексного переменного
Пусть функция w = f (z) |
определена в некоторой области |
||||||||||||
G комплексной плоскости. Пусть точки z и z +∆z |
принадле- |
||||||||||||
жат области |
G. |
|
Пусть, |
далее, |
|
∆z = ∆x +i∆y, |
∆w = |
||||||
= f (z +∆z) − f (z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Функция w = f (z) |
называется дифференцируемой в точ- |
||||||||||||
ке z G, |
если в этой точке существует конечная производная |
||||||||||||
f ′(z0 ) = |
lim |
∆f |
(z0 ) |
|
= lim |
|
f (z +∆z) − f (z) |
. |
|
|
|||
|
∆z |
|
|
∆z |
|
|
|
||||||
∆z→0 |
|
∆z→0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Критерий дифференцируемости функции |
|
|
||||||||||
Пусть z = x +iy , |
|
w = f (z) =u(x, y) +iv(x, y). |
Функция |
||||||||||
w = f (z) |
дифференцируема в точке z G тогда и только тогда, |
||||||||||||
когда функции u =u(x, y) и v = v(x, y) |
дифференцируемы как |
||||||||||||
функции действительного переменного в точке (x, y) |
и в этой |
||||||||||||
точке выполняются условия Коши-Римана: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
= ∂v , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
(4.26) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
= −∂v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
∂x |
|
|
|
|
С учетом условий Коши-Римана производную дифференцируемой функции f (z) можно находить по формулам
33
f ′(z) = |
∂u |
+i |
∂v |
, |
f ′(z) = |
∂v |
+i |
∂v |
, |
|
∂x |
|
∂x |
|
|
∂y |
|
∂x |
(4.27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′(z) = |
∂u |
−i |
∂u |
, |
f ′(z) = |
∂v |
−i |
∂u . |
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
∂y |
|
∂y |
|
Правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного, дифференцируемых в точке z.
Аналитическая функция
Функция w = f (z) называется аналитической в точке z G, если она дифференцируема в этой точке и некоторой ее окрестности.
Функция w = f (z) называется аналитической в области G, если она аналитична в каждой точке этой области.
Точки, в которых однозначная функция w = f (z) аналитична, называются правильными точками этой функции. Точки, в которых функция w = f ( z) не является аналитической,
называются особыми точками этой функции. Уравнение
∂2φ + ∂2φ = ∂x2 ∂y2 0
называется уравнением Лапласа. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями.
Достаточные условия аналитичности функции
Если гармонические в области G функции u =u (x, y) и v = v(x, y) связаны между собой условиями Коши-Римана, то функция f (z) =u (x, y) +i v(x, y) является аналитической в области G.
34
Пару гармонических функций u =u (x, y) и v = v(x, y),
связанных между собой условиями Коши-Римана, называют сопряженными. Пара сопряженных в области G функций со-
ставляют аналитическую функцию |
|
f (z) =u (x, y) +i v(x, y). |
|||||||||||||||||||
|
Пример 4.5. Проверить, является ли функция |
v(x, y) = |
|||||||||||||||||||
= ex sin y гармонической. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Найдем |
частные |
|
производные |
функции |
|
v(x, y): |
||||||||||||||
∂v |
= e |
x |
sin y , |
∂2v |
= e |
x |
sin y ; |
∂v |
= e |
x |
cos y ; |
∂2v |
= −e |
x |
sin y . Так |
||||||
∂x |
|
∂x2 |
|
∂y |
|
∂y2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
как |
∂2v |
+ |
∂2v |
= e |
x |
sin y −e |
x |
sin y |
= 0 , то функция v(x, y) |
являет- |
|||||||||||
∂x2 |
∂y2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ся гармонической.
Зная одну из сопряженных гармонических функций, можно восстановить другую с точностью до постоянного слагаемого.
Сопряженную гармоническую функцию можно восстановить с помощью условий Коши-Римана.
Пусть известна гармоническая функция u =u(x, y). Сопряженная ей функция v(x, y) может быть найдена с помощью криволинейного интеграла следующим образом: v(x, y) =
( x, y) |
∂u |
dx + |
∂u |
dy. В случае односвязной области |
G этот |
= ∫ − |
∂y |
∂x |
|||
( x0 , y0 ) |
|
|
|
интеграл не зависит от пути интегрирования.
На практике бывает проще использовать условия КошиРимана непосредственно.
Из первого условия Коши-Римана найдем функцию v(x, y) с точностью до постоянного относительно x слагаемого:
y |
∂v |
y |
∂u |
dy +ϕ(x). |
v(x, y) = ∫ |
∂y |
dy +ϕ(x) = ∫ |
∂x |
|
y |
y |
|
||
0 |
|
0 |
|
|
35
Функцию ϕ(x) найдем с помощью второго условия Ко-
|
|
|
|
∂ |
|
y |
∂u |
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
||||
ши-Римана: |
|
|
|
|
∫ |
∂x |
dy +ϕ(x) = − |
∂y |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
∂x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично по заданной гармонической функции v(x, y) |
||||||||||||||||||
можно найти сопряженную ей функцию u(x, y). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Пример 4.6. Найти гармоническую функцию u(x, y), со- |
||||||||||||||||||
пряженную к функции v(x, y) = ex sin y. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
В силу первого условия Коши-Римана ∂u = |
∂ |
(ex sin y) = |
||||||||||||||||
∂y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
||
= ex cos y. Следовательно, u(x, y) = |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∫ ex cos ydx +ϕ( y) |
= ex cos y + |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
+ ϕ( y) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Найдем производную функции u(x, y) по переменной y: |
||||||||||||||||||
|
∂ |
∂ |
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
u(x, y) = |
|
(e |
|
cos y +ϕ( y)) = −e |
|
sin y +ϕ′( y). В силу второго |
||||||||||||
|
∂y |
∂y |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
∂v |
∂ |
(e |
x |
sin y) = |
|
условия Коши-Римана −e |
|
sin y +ϕ′( y) = −∂x = − |
|
|
||||||||||||||||
|
∂x |
|
||||||||||||||||||
= −ex sin y. |
Таким образом, |
ϕ′( y) = 0, следовательно, |
ϕ( y) = c |
и u(x, y) = ex cos y +c.
Условие f (z0 ) = с0 , где z0 , с0 – заданные числа, позволяет определить аналитическую функцию f (z) однозначно.
Пример 4.7. Восстановить аналитическую функцию f (z) по ее мнимой части v(x, y) = ex sin y и значению f (0) =1.
В силу примера 4.5. функция v(x, y) является гармонической. В силу примера 4.5 сопряженная функция имеет вид u(x, y) = ex cos y +c . Следовательно, w(x, y) = ex (cos y +isin) y +
36
+ c. Значит f (z) = ez +c. Из условия f (0) =1 вытекает, что с = 0. Итак, f (z) = ez .
|
Пример 4.8. Восстановить аналитическую функцию |
|
f (z) |
||||||||||||||||||||||||||
по ее действительной части u = |
x |
|
и значению |
f (π) = |
1 . |
||||||||||||||||||||||||
x2 + y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|||
|
Найдем |
частные |
производные функции |
|
|
u: |
|
|
|
|
∂u = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
= |
y2 − x2 |
∂u |
= |
−2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
; |
∂y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(x2 + y2 )2 |
(x2 + y2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
= |
|
y |
2 |
− x |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
(x2 |
+ y2 ) |
2 |
|
||||||||||||
|
Тогда в силу условий Коши-Римана |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
2xy |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
(x |
2 |
+ y |
2 |
) |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя второе равенство по переменной |
|
x, получим |
||||||||||||||||||||||||||
v(x; y) = |
−y |
|
+ϕ( y). |
Тогда |
∂v = |
|
y2 − x2 |
|
|
+ϕ′( y). |
|
|
В |
|
силу |
||||||||||||||
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
∂y |
(x2 + y2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первого условия Коши-Римана,
ϕ( y) = c |
и v(x; y) = |
−y |
+с. |
|
x2 + y2 |
||||
|
|
|
ϕ′( y) = 0, следовательно,
Отсюда f (z) = |
x |
− |
|
x2 + y2 |
|||
|
|
−i |
y |
|
+ic. |
Так как x −iy = z и |
x2 + y2 = zz , то |
||
x2 + y2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
f (z) = |
1 +ic. |
Из условия f (π) = 1 следует, что c = 0. Поэтому |
|||||
|
|
z |
|
|
π |
|
|
f (z) = |
1 . |
|
|
|
|
||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
Аналитическую функцию |
f (z) можно вос- |
становить по одной из формул:
37
f (z) = 2u |
|
z + z0 |
, |
z − z0 |
|
|
−c , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
2i |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (z) = 2iv |
z + z0 |
|
, |
z − z0 |
|
|
+c , |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
2i |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где c0 – сопряженное число для c0 = f (z0 ), z0 – сопряженное число для z0.
Пример 4.9. Восстановить аналитическую функцию f (z)
по ее мнимой части v(x, y) =3x +2xy |
и значению f (i) = 2. |
|||||||||||
Воспользуемся формулой |
|
|
|
|
|
|||||||
f (z) = 2iv |
z + z0 |
, |
z − z0 |
|
+c . |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2i |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = 2i |
3 |
z −i |
+2 |
z −i |
|
z +i |
+2 = z2 +3iz +6. |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2i |
|
|
|
Конформные отображения
Сформулируем самое общее определение конформного отображения.
Определение 1. Непрерывное отображение, сохраняющее форму бесконечно малых фигур, называется конформным.
Уточним определение 1. Пусть |
– комплексное евкли- |
||||||||||
дово пространство, |
f : → |
– непрерывное |
отображение, |
||||||||
определенное на области G . |
|
|
|
|
|
|
|||||
Будем говорить, что отображение w = f (z) |
обладает свой- |
||||||||||
ством постоянства растяжений в точке |
z0 G, если существует |
||||||||||
конечный предел lim |
|
|
f (z) − f (z0 ) |
|
|
= k. Число k = k (z0 , f ) на- |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
z − z0 |
|
|
|
|
||||
z→z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зывается коэффициентом растяжения в точке z0. 38
Отображение w = f (z) обладает свойством сохранения углов в точке z0 G, если любая пара непрерывных кривых l1 и l2 , расположенных в области G и пересекающихся в точке z0 под углом α при рассматриваемом отображении, переходит в пару непрерывных кривых L1 и L2 , пересекающихся в точке w0 = f (z0 ) под те же углом α.
Определение 2. Непрерывное отображение w = f (z) области G комплексной области называется конформным в точке z0 G, если оно обладает свойствами постоянства растяже-
ний и сохранения углов.
Определение 3. Непрерывное отображение области G называется конформным, если оно конформно в каждой точке этой области.
|
Критерий конформности отображения |
|
|
|||||||
Отображение w = f (z) |
является конформным в области |
|||||||||
G комплексной плоскости тогда и только тогда, когда функ- |
||||||||||
ция f (z) |
аналитична в области G и f ′ (z) ≠ 0 при всех z G. |
|||||||||
Таким образом, если в точке |
z0 G существует отличная |
|||||||||
от нуля производная f ′ (z0 ) ≠ 0, |
то каждый бесконечно малый |
|||||||||
вектор с началом в точке z0 |
при отображении w = f (z) |
растя- |
||||||||
гивается |
в |
k = |
|
f ′ (z0 ) |
|
|
раз, |
поворачивается |
на |
угол |
|
|
|||||||||
|
||||||||||
α = arg f ′ (z0 ) |
и параллельно сдвигается на вектор |
f (z0 ) − z0 ; |
бесконечно малые круги переходят в бесконечно малые круги.
Линейное отображение
Пусть a,b , a ≠ 0. Отображение, осуществляемое линейной функцией
39
w = az +b, |
(4.28) |
называется линейным отображением. Линейное отображение является конформным не всей комплексной плоскости, так как w′ = a ≠ 0.
Частные случаи:
1) w = z +b – преобразование параллельного переноса; 2) w = eiα z (α R) – преобразование поворота вокруг на-
чала координат на угол α;
3) w = rz (r R, r > 0) – преобразование подобия с центром в начале координат и коэффициентом подобия r.
Общий случай w = az +b, где a = reiα – преобразование, осуществляемое путем последовательного применения 1) поворота вокруг начала координат на угол α; 2) преобразования подобия с центром подобия в начале координат и коэффициентом подобия r; 3) параллельного переноса с помощью вектора, соответствующего комплексному числу b.
Дробно-линейное отображение
Дробно-линейным называется отображение с помощью функции
w = |
az +b |
, |
(4.29) |
|
cz +d |
||||
|
|
|
где a,b,c, d и ad −bc ≠ 0.
Дробно-линейная функция взаимно-однозначно и конформно отображает расширенную комплексную плоскость Z на расширенную комплексную плоскость W.
Дробно-линейное преобразование может быть получено с помощью последовательного применения линейных преобра-
зований и преобразования вида w = 1z .
40